数学培优专题讲座2008寒假
五、点线面的关系及角与距离的计算
【要点点、要点】直线和平面这些内容是立体几何的基础，学好这部分内容首先要掌握好有关的公理、要点定理，另外就是认真学习定理的证明，尤其是一些很关键的定理的证明．例如：三垂线定理．定理的内容都很简单，就是线与线，线与面，面与面之间的关系的阐述．主要是充分运用“转化”这种数学思想，要明确在转化过程中什么变了，什么没变，有什么联系，这是非常关键的．例如：1两条异面直线所成的角转化为两条相交直线的夹角，斜线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角；立体几何中求各种角，几乎最后都划归为线线角问题，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点．二面角的通常求法（1）由定义作出二面角的平面角；（2）作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角．（3）利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角；（4）空间坐标求二面角的大小其中，（2）点主要是根据定义来找二面角（1）的平面角，再利用三角形的正、余弦定理解三角形．2点面距离，线面距离、面面距离都可以相互转化．而面面距离可以转化为线面距离，再转化为点面距离，点面距离又可转化为点线距离．3面和面平行可以转化为线面平行，线面平行又可转化为线线平行．而线线平行又可以由线面平行或面面平行得到，它们之间可以相互转化．同样面面垂直可以转化为线面垂直，进而转化为线线垂直．
A
【例题例题】例题1．已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线．
Q
C
B
P
α
R
2．在空间四边形ABCD中，N、Q分别是四边上的点，M、P、且满足求证：M、N、P、Q共面．
AMCNAQCPk．MBNBQDPD
3．将锐角为60°，边长为a的菱形ABCD沿较短的对角线BD折成60°的二面角．（1）求异面直线AC与BD的距离；（2）求三棱锥CABD的体积；（3）求D到面ABC的距离．
EOC
D
C
A
B
4．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC90，BC2，AC23，且AA1⊥A1C，AA1A1C．（1）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；（2）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（3）求顶点C到侧面A1ABB1的距离．
高一数学《点线面的关系及角与距离的计算》■■■第1页共4页■■■
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5．在棱长为a的正方体ABCDA′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点．（1）求证：四边形B′EDF是菱形；（2）求直线A′C与DEr