2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
(高一年级)说明:评阅试卷时,请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档;解答题的评阅,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题(本题满分64分,每小题8分。直接将答案写在横线上。)1.计算:si
10°si
20°si
30°Lsi
90°=
2222
5
.
2.设等差数列a
的前
项和为S
,已知S1221,a3a4a9a10=____7____.则3.已知P是△ABC所在平面上一点,满足PAPB2PC3AB,则△ABP与△ABC的面积之比为4.1
uuuuuurr
uuur
uuur
12
.
1111L1=12123123L2011
6712011
.
5.满足方程x28xsi
xy160(x∈Ry∈02π)的实数对xy的个数为8.6.已知函数fxx22x2的定义域为ab(其中ab),值域为2a2b,则符合条件的数组ab为22.7.设集合A0123456789如果方程x2mx
0(m
∈A)至少有一个根x0∈A,就称该方程为合格方程,则合格方程的个数为8.已知关于x的方程xk实数k的取值范围是23.
12
2kx在区间k1k1上有两个不相等的实根,则2
.
0k≤1
二、解答题(本大题满分56分,第9题16分,第10题20分,第11题20分)9.已知二次函数yfxx2bxc的图象过点(1,13),且函数yfx是偶函数(1)求fx的解析式;(2)函数yfx的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由解(1)因为函数yfx是偶函数,所以二次函数fxx2bxc的对称轴
12
12
f方程为x
1,b1故2
4分
又因为二次函数fxx2bxc的图象过点(1,,13)所以1bc13,c11故因此,fx的解析式为fxxx118分
2
(2)如果函数yfx的图象上存在符合要求的点,设为Pm
,其中m为正整
2
数,
为自然数,则mm11
,从而4
2m143,即
22
2
2
2
2m12
2m143
12分
注意到43是质数,且2
2m12
2m1,2
2m10,所以有
2
2m143m10解得2
2m11
11
因此,函数yfx的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121)
16分10.已知ab∈R,关于r