2011年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
（高一年级）说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．计算：si
10°si
20°si
30°Lsi
90°＝
2222
5
．
2．设等差数列a
的前
项和为S
，已知S1221，a3a4a9a10＝____7____．则3．已知P是△ABC所在平面上一点，满足PAPB2PC3AB，则△ABP与△ABC的面积之比为4．1
uuuuuurr
uuur
uuur
12
．
1111L1＝12123123L2011
6712011
．
5．满足方程x28xsi
xy160（x∈Ry∈02π）的实数对xy的个数为8．6．已知函数fxx22x2的定义域为ab（其中ab），值域为2a2b，则符合条件的数组ab为22．7．设集合A0123456789如果方程x2mx
0（m
∈A）至少有一个根x0∈A，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为8．已知关于x的方程xk实数k的取值范围是23．
12
2kx在区间k1k1上有两个不相等的实根，则2
．
0k≤1
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知二次函数yfxx2bxc的图象过点（1，13），且函数yfx是偶函数（1）求fx的解析式；（2）函数yfx的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由解（1）因为函数yfx是偶函数，所以二次函数fxx2bxc的对称轴
12
12
f方程为x
1，b1故2
4分
又因为二次函数fxx2bxc的图象过点（1，，13）所以1bc13，c11故因此，fx的解析式为fxxx118分
2
（2）如果函数yfx的图象上存在符合要求的点，设为Pm
，其中m为正整
2
数，
为自然数，则mm11
，从而4
2m143，即
22
2
2
2
2m12
2m143
12分
注意到43是质数，且2
2m12
2m1，2
2m10，所以有
2
2m143m10解得2
2m11
11
因此，函数yfx的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）
16分10．已知ab∈R，关于r