专题31数列求和
1熟练掌握等差、等比数列的前
项和公式；2掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。
1．求数列的前
项和的方法
1公式法
①等差数列的前
项和公式S
＝
（a1＋2a
）＝
a1＋
（
2－1）d．②等比数列的前
项和公式
当q＝1时，S
＝
a1；
当q≠1时，S
＝a1（11－－qq
）＝
a1－a
q1－q

2分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
3裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
4倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
5错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式
的推导过程的推广．
6并项求和法
一个数列的前
项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a
＝－1
f
类型，可采用两项合并求解．
例如，S
＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050
2．常见的裂项公式
f1
（
1＋1）＝1
－
＋11
2（2
－1）1（2
＋1）＝122
1－1－2
1＋1
3
1
＝
＋1－

＋
＋1
高频考点一分组转化法求和
例1、2016天津卷已知a
是等比数列，前
项和为S
∈N＋，且a11－a12＝a23，S6＝631求a
的通项公式；2若对任意的
∈N＋，b
是log2a
和log2a
＋1的等差中项，求数列－1
b2
的前2
项和
【方法规律】1若数列c
的通项公式为c
＝a
±b
，且a
，b
为等差或等比数列，可采
f用分组求和法求数列c
的前
项和
2若数列c
的通项公式为c
＝ab
，，
为为奇偶数数，，其中数列a
，b
是等比数列或等差数列，
可采用分组求和法求a
的前
项和
【变式探究】1数列112，314，518，7116，…，2
－1＋21
，…的前
项和S
的值等于

A
2＋1－21

B2
2－
＋1－21

C
2＋1－2
1－1
D
2－
＋1－21

2数列a
的通项公式a
＝
cos
2π，其前
项和为S
，则S2016等于

A1008
B2016
C504D0
【答案】1A2A
高频考点二错位相减法求和
例2、2016山东卷已知数列a
的前
项和S
＝3
2＋8
，b
是等差数列，且a
＝b
＋b
＋
11求数列b
的通项公式；2令c
＝（（ab
＋
＋12））
＋
1求数列c
的前
项和T
【解析】1由题意知，当
≥2时，a
＝S
－S
－1＝6
＋5当
＝1时，a1＝S1＝11，符合上式所以a
＝6
＋5设数列b
的公差为d，由aa12＝＝bb12＋＋bb23，，即1117＝＝22bb11＋＋d3，d，可解得b1＝4，d＝3所以b
＝3
＋1
f2由r