第64炼利用空间向量解立体几何问题
一、基础知识（一）刻画直线与平面方向的向量1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定例如：A246B302，则直线AB的方向向量为AB1442、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面垂直的直线称为平面的法线，法线的方向向量就是平面的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？（1）所需条件：平面上的两条不平行的直线（2）求法：（先设再求）设平面的法向量为
xyz，若平面上所选两条直线的方向向量分别为ax1y1z1bx2y2z2，则可列出方程组：




x1xy1yz1z0解出xyz的比值即可x2xy2yz2z0例如：a120b213，求ab所在平面的法向量
解：设
xyz，则有

x2y0x2y，解得：2xy3z0zy
xyz211
211
（二）空间向量可解决的立体几何问题（用ab表示直线ab的方向向量，用m
表示平面


的法向量）
1、判定类（1）线面平行：a∥ba∥b（2）线面垂直：abab（3）面面平行：∥m∥
（4）面面垂直：m
2、计算类：




ab（1）两直线所成角：coscosabab
fam（2）线面角：si
cosamam
m
（3）二面角：coscosm
或coscosm
m

m
（视平面角与法向m

量夹角关系而定）（4）点到平面距离：设A为平面外一点，P为平面上任意一点，则A到平面的距离为dA
AP
，即AP在法向量
上投影的绝对值。

（三）点的存在性问题：在立体几何解答题中，最后一问往往涉及点的存在性问题，即是否在某条线上存在一点，使之满足某个条件，本讲主要介绍使用空间向量解决该问题时的方法与技巧1、理念：先设再求先设出所求点的坐标xyz，再想办法利用条件求出坐标2、解题关键：减少变量数量xyz可表示空间中的任一点，但题目中所求点往往是确定在某条线或者某个平面上的，所以使用三个变量比较“浪费”（变量多，条件少，无法求解），r