三角函数最值与综合应用
一、求三角函数最值的一般方法1用三角发求解三角函数的最值常见的函数形式（1）yasi
xbcosx
a2b2si
x，其中cos
aab2
2
，
si

ba2b2
（2）yasi
2xbcos2x可先降次，整理转化为一次形式。（3）y
asi
xbacosxb或可转化为只有分母含si
x或cosx函数式，csi
xdccosxdsi
xfy或cosxfy的形式，有正、余弦函数的有界性求解。
2用代数发求三角函数的最值常见的函数形式（1）yasi
2xbcos2xc可转化为cosx的二次函数式。（2）yasi
x
ccabc0，令si
xt，则转化为yat1≤t≤1的bsi
xbt
最值，一般可用图像。（3）y
asi
xbx，一般用万能公式转化为关于ta
的二次方程，由“判别式法”求ccosxd2
其最值；或转化为关于的函数式后噶偶早应用“均值不等式”及“单调性”求其最值，也可以将函数式转化为si
xfy的形式，由正余弦的有界性求最值。3用解析法求三角函数的最值常见的函数形式
y
题。
asi
xbacosxc或y可转化为椭圆上的动点与定点连线的斜率的最值问ccosxdbsi
xd
二、求三角函数值域的常用方法求三角函数的值域除了判别式、总要不等式、单调性等方法除外，结合三角函数的特点还有以下常用方法：1涉及正、余弦函数以及asi
xbcosx考虑利用有界性处理
a2b2si
x，其中ta

b，都可以a
→2yasi
2xbsi
xcosxcos2x型
降次、整理
yAsi
2xBcos2x
A2B2si
2x其中ta

B再利用有界性处理。A
f3形如yasi
xbsi
xc或yacosxbsi
xc的函数求最值是都可以通过适当变换，通过配方法来求解。
22
4形如si
x±cosx，si
xcosx在关系式中是，可以考虑换元法处理，如令
t21tsi
xcosx，则si
xcosx。把三角问题化归为代数问题解决2
5形如x
a型或能确定所给函数在某区间上单调，可考虑利用单调性求解。x
例1
求下列函数的值域
（1）y
si
2xsi
x1cosx
（2）ysi
xcosxsi
xcosx
变式1求函数y
3cosx的值域2si
x
f变式2求函数y
1si
x3si
x的最值及对应的的x集合2si
x
Ⅰ
练习：一、选择题
1（2009全国Ⅱ）若将函数yta
ωx
π
4
ω0的图像向右平移
π
6
个单位后，与函数
yta
ωx
A
π
6
的图像重合，则ω的最小值为（）
B
16
14
C
13
D
12
2（2008湖南）函数fxsi
2x3si
xcosx在区间
ππ上的最大值是（）4r