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正弦定理和余弦定理
1．正弦定理：si
aA＝si
bB＝si
cC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：1a∶b∶c
＝si
_A∶si
_B∶si
_C；2a＝2Rsi
_A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C；3si
A＝2aR，si
B＝2bR，si
C＝2cR
等形式，解决不同的三角形问题．
2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：cosA＝b2＋2cb2c－a2，cosB＝a2＋2ca2c－b2，cosC＝a2＋2ba2b－c2
3．S△ABC＝12absi
C＝12bcsi
A＝12acsi
B＝a4bRc＝12a＋b＋crr是三角形内切圆的半径，并可由此计算R、
r4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsi
A
bsi
Aab
a≥b
ab
解的个数
一解
两解
一解
一解
难点正本疑点清源
1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，
ABabsi
Asi
B；ta
Ata
Bta
Cta
Ata
Bta
C；在锐角三角形中，cosAsi
BcosAsi
C
2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边、角转换．
1．在△ABC中，若A＝60°，a＝
3，则si

a＋b＋cA＋si
B＋si

C＝________
2．2012福建已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
3．2012重庆设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝153，b＝3，则c＝
________4．2011课标全国在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．
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5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为
A．22
B．82
C2
2D2
题型一利用正弦定理解三角形例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°求角A、C和边c
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________．题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且ccoossCB＝－2ab＋c
1求角B的大小；2若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．
已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝01求角A的值；2若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．
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f学习好资料题型三正弦定理、余弦定理的综合应用例32012课标全国已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asi
C－b－c＝
01求A；2若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c
1在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是ar