2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案
（考试时间：2016年5月22日上午9：00－11：30，满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）
1．若函数fx3cosxsi
x（0）的最小正周期为，则fx在区间
6
3
0
，2

上的最大值为
。
【答案】23
【解答】∵fx3cosxsi
x3cosxsi
x
6
3
6
62
3cosxcosx4cosx，且fx的最小正周期为。
6
6
6
∴


2，
f
x

4cos2x
6
。又
x

0
，2

时，
6

2x

6

76
，
∴
2x

6

6
，即
x

0时，
f
x
在区间
0
，2

上取最大值
2
3。
2．已知集合A
xx23x20
，B


x

x
1
3

a

，若
A

B
，则实数
a
的取值范
围为
。
【答案】1，2
【解答】Ax1x2。由1a，得ax3a10。
x3
x3
∴a0时，Bxx3。满足AB。
a

0时，由
ax3ax3
1

0
，得
x
3x3
1a

0
，B


x
x

3或
x

3
1a

。满足

A
B
。
a

0时，由
ax3ax3
1

0
，得
x
31a
x3

0
，
B


x
3

1a

x

3

。由满足
A

B
，
得311，1a0。
a
2
1
f综合得，a1。a的取值范围为1，。
2
2
3．函数fxx2l
xx22零点的个数为
。
【答案】1【解答】∵fx2xl
xx2xx2l
x3。
0

x

e
32
时，
f
x

0；
x

e

32
时，
f
x

0。
∴
f
x
在区间
0
，e

32

上为减函数，在区间
e

32
，

上为增函数。
又0

x

e

32
时，l

x
1

3
1

1

0
，
f
x

x2l

x
1

2

0；
2
2
f
e

32


e
3
3
1
2

0，
f
e

2e2

2

0
。
2
∴函数fx的零点个数为1。
或：作图考察函数
y

l

x
与
y

2x2
1图像交点的个数。
4．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角BA1CD的大小为
【答案】120
【解答】设正方体棱长为1。作BEA1C于E，连结DE。
D1
由正方体的性质知，△A1DC≌△A1BC。
A1
∴DEA1C，BED为二面角BA1CD的平面角，
。
C1B1
且BEDE2，BD2。3
∴
cosBED
22233
1。
2222
33
D
C
A
B
（第4题）
D1
C1
∴二面角BA1CD的大小为120。
A1
或：设AC、BD交于点O，由BEO60，得BED120。D
EB1C
A
B
2
f5．在空间四边形ABCD中，已知AB2，BC3，CD4，DA5，则
ACBD
。
【答案】7
【解答】以AB，BC，CD为基底向量。则ADABBCCD。
A
∴
2
AD

AB

BC
CD2
，
即
2
AD

2
AB

2
BC
2
CD
2AB
BC

2ABCD

2BCCD
。
r