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【2019最新】精选高考数学一轮复习第八章立体几何87立体几何中的向量方法一__证明平行与垂直理
1.直线的方向向量与平面的法向量的确定1直线的方向向量:在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.2平面的法向量可利用方程组求出:设a,b是平面α内两不共线向量,
为平面α的法向量,则求法向量的方程组为
a=0,
b=0
2.用向量证明空间中的平行关系1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2或l1与l2重合v1∥v22设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向量v1和v2,则l∥α或lα存在两个实数x,y,使v=xv1+yv23设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或lαv⊥u4设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥βu1∥u23.用向量证明空间中的垂直关系1设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2v1⊥v2v1v2=02设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥αv∥u3设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥βu1⊥u2u1u2=0【思考辨析】判断下列结论是否正确请在括号中打“√”或“×”1直线的方向向量是唯一确定的.×2平面的单位法向量是唯一确定的.×3若两平面的法向量平行,则两平面平行.√4若两直线的方向向量不平行,则两直线不平行.√5若a∥b,则a所在直线与b所在直线平行.×
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6若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.×
1.已知A100,B010,C001,则下列向量是平面ABC法向量的是
A.-111
B.1,-11
C.-,-,-
D.,,-
答案C
解析设
=x,y,z为平面ABC的法向量,
则化简得-x+y=0,
-x+z=0,
∴x=y=z故选C
2.直线l的方向向量a=1,-35,平面α的法向量
=-13,-5,则有
A.l∥α
B.l⊥α
C.l与α斜交
D.lα或l∥α
答案B
解析由a=-
知,
∥a,则有l⊥α,故选B
3.平面α的法向量为12,-2,平面β的法向量为-2,-4,k,若α∥β,则k等于
A.2B.-4
C.4
D.-2
答案C
解析∵α∥β,∴两平面法向量平行,∴==,∴k=4
4.教材改编设u,v分别是平面α,β的法向量,u=-225,当v=3,-22时,α与β的位置关系为________;当v=4,-4,-10时,α与β的位置关系为________.
答案α⊥βα∥β解析当v=3,-22时,uv=-2253,-22=0α⊥β
当v=4,-4,-10时,vr
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