习题三
（A）
三、解答题
1设口袋中有3个球，它们上面依次标有数字1，1，2，现从口袋中无放回地连续摸出两个球，以X，Y分别表示第一次与第二次摸出的球上标有的数字，求X，Y的分布律．
解：X，Y取到的所有可能值为1，1，1，2，2，1由乘法公式：PX1，Y1PX1PY1X123123，PX1，Y2PX1PY2X1231213，PX2，Y1PX2PY1X2132213X，Y的分布律用表格表示如下：
Y
X
1
2
1
13
13
2
13
0
2．设盒中装有8支圆珠笔芯，其中3支是蓝的，3支是绿的，2支是红的，现从中随机抽取2支，以X，Y分别表示抽取的蓝色与红色笔芯数，试求：
1X和Y的联合分布律；2PX，YA，其中Ax，yxy1．解：X，Y所有可能取到的值是0，1，2
1PXi，
YjPXiPYjXi
C3iC2j
C2i2
C82
j
，
或者用表格表示如下：
i，j0，1，2，ij2
Y
X
0
1
2
0
328
628
128
1
928
628
0
2
328
0
0
2PX，YAPXY1PX0，Y0PX1，Y0PX0，Y1328928628914
f3．设事件A、B满足PA1PAB1PBA1记X，Y分别为一次试验中A，
4
2
2
B
发生的次数，即
X

1A发生0，A不发生
，
Y

10，，B不B发发生生，求：二维随机变量X，Y的分布
律．
解：因为PA14，PBA1由PBAPABPAB12得PAB18，
2
PA14
由PABPAB12得PB14PB
X，Y取到的所有可能数对为0，0，1，0，0，1，1，1，则PX0，Y0PABPAB1PAB1PAPBPAB58
PX0，Y1PABPBAPBPAB18
PX1，Y0PABPABPAPAB18
PX1，Y1PAB184．设二维随机变量X，Y的概率密度为
f
x
y

Axy

0
0

x

10y其它
1
试求：1常数A2PXY3PXY4X，Y的分布函数．解：1由归一性知：
1
，故A4
2PXY0
3PXY

4
fFx，y
即Fx，y
5．设二维随机变量XY的联合概率密度为
求PXY1．
f
x
y

x2

xy3

0x10y2
0
其它
解：PXY1fxydxdy12x2xydydx65
xy1
01x
3
72
6．将一枚硬币掷3次，以X表示前2次中出现正面的次数，以Y表示3次中出现正面的次数，求X，Y的联合分布律及X，Y的边缘分布律．
解：X的所有可能取值为0，1，2，Y的所有可能取值为0，1，2，3PX0，Y00530125PX0，Y10530125
PX1，Y1C2105205025，PX1，Y2C2105205025
PX2，Y20530125，PX2，Y30530125X，Y的分布律及边缘分布律可用表格表示如下：
Y
0
1
2
3
Pi
X
0
012501250
0
025
1
0
0250250
05
2
0
0
01250125025
Pj
0125037r