2012年全国初中数学竞赛试题
小题，一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）选择题（1如果a22，那么1
1213a
的值为（
）．
（A）2
2
（B）2
（C）2
（D）22）．
在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，的个数为y）（（A）10（B）9（C）7（D）5
3
如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．
∠ADC30°，AD3，BD5，则CD的长为（
（A）32
4
）．
（B）4
（C）25
（D）45
如果关于x的方程x2pxq0（p，q是正整数）的正根小于3，那么这样的方程的个数是（）．（B）6（C）7（D）8
（A）5
5
黑板上写有1，
11，…，共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，2100
然后删去a，b，并在黑板写上数abab，经过99次操作后，黑板上剩下的数是（（A）2012（B）101（C）100（D）99
）．
小题，二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）填空题（
6
如果a，c是正数，且满足abc9，b，的值为．
11110abc那么，abbcca9bccaab
7
如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是
8
设
为整数，且1≤
≤2012若
2
3
2
3能被5整除，则所有
的个数为

9
如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称x，y，z）是三角形数．若a，b，c）（和（
111a（，，）均为三角形数，且a≤b≤c，则的取值范围是abcc

10已知
是偶数，且1≤
≤100．若有唯一的正整数对a，b）（使得a2b2
成立，则这样的

的个数为
．
f三、解答题（共4题，每题20分，共80分）解答题（11已知二次函数yx2m3）xm2，当1x3时，恒有y0；关于x的方程（
x2m3）xm20的两个实数根的倒数和小于（
9．求m的取值范围．10
12如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心求
证：（1）OI是△IBD的外接圆的切线；（2）ABAD2BD
13给定一个正整数
，凸
边形中最多有多少个内角等于150°？并说明理由．
14将2，3，…，
（
≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数a，b，c（可以
相同）使得abc，求
的最小值．
f15BBDCD6107，8，2381211m12121弦切角定理，鸡爪定理（2）托勒密定理，鸡爪定理1320171465536
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