抽象函数的周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号
看对称）编号周期性
对称性
1fxafxa→T2a2faxfbx→Tba
fxafxa→对称轴xayfxa是偶函
数；
fxafxa→对称中心（a0）yfxa是
奇函数
f
a

x
f
b

x→对称轴x

a
b2
；
f
a

x


f
b

x→对称中心

a
2
b
0
；
3fxfxa→T2a
a0fxfxa→对称中心2
4faxfbx→T2ba
f
a

x


f
b

x→对称中心

a
2
b
0
1
5fx±fx→T2a
abfxbfxa→对称中心22
6
fx1
f
1
x
a
f
x

0
→T3
a
结论：1函数图象关于两条直线xa，xb对称，则函数yfx是周期函数，且
T2ab；
2函数图象关于点Ma0和点Nb0对称，则函数yfx是周期函数，且
T2ab；
3函数图象关于直线xa，及点Mb0对称，则函数yfx是周期函数，且
T4ab；
4应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别
xba
ba0
yfax与yfbx关于
2对称；yfax与yfbx关于点2对称。
（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称
轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x为对称轴）
例：①已知定义在R上的奇函数fx满足fx2fx，则f6的值为（）
A1
B0
C1
D2
解：
1
f②函数fx对于任意的实数x都有f12xf12x，则f2x的图像关于对称。
练习1、函数yfx1是偶函数，则yfx的图象关于
对称。
fx31
2、函数yfx满足
fx，且f31，则f2010
。
3、函数
fx是定义在
R
上的奇函数，且
f
12

x

f
12

x
则
f
1
f
2

f
3
f
4
f
5

x1解析：法一：因fx为奇函数且关于2对称，T2可借助图象解答，得结果。小结：此方法为数形结合法；
法二：因
x1fx为奇函数且关于2
对称，类比
fxsi
x联想函数
fxsi
x
；小结：此方法为抽象函数具体化法。
4设fx是R的奇函数fx2fx当0≤x≤1时fxx则f7505
5定义在R上的函数fx满足fxfx3则f1xf13x
6、f（x）是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f（2）0，则方程f（x）
0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（
）
A4
B5
C6
D7
7、设函数fx的定义域为13且函数fx的图象关于点20成中心对称已知当x23时fx2x求当x12时fx的解析式
2
fr