高中数学无理函数值域的常见求法
牛广义
在解题过程中，同学们遇到无理函数的值域问题时，普遍采用的是“判别式法”，但由于无理函数的定义域一般不为R，所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围，使用“判别式法”失效。本文将对常见的无理函数类型及解法作一归纳，使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”，尽快求出正确答案。
一、形如“ymx
±axb”的函数
例1求函数y2x3134x的值域。
解：令t134x，则t0且x113t2，则y1t2t71t12
4
2
22
4。当t1，即x3时，ymax4，当t时，y。故函数值域为，4。
说明：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令taxb，将原
函数转化为t的二次函数，当然也适用于“ymx2
±ax2b”的函数。
二、形如“ymx
±ax2bxca0，b24ac0”的函数
例2求函数yx2x210x23的值域。
解：由x210x230，得52x52。令x
，，则y2si
72cos2si
7。
22
4
由3，得2si
1。
4
44
2
4
当si


4
1时，
ymax

9；
当si
4
22
时，ymi


7
2。
故函数值域为72，9。
2si
5且
说明：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又a0且0
的函数定义域一定为闭区间，如x1，x2，则可作三角代换为x

x2
2
x1
si

x2x1且，，即可化为yAsi
＋k型函数。至于a0且0
2
22
及其他类型，同学们可自己分析一下。
三、形如“ymaxb±
cxdac0”的函数
例3求函数y8x3x6的值域。
解：由
3x608x0
，得
2

x

8
。
令x10si
22且0，2
f则y10cos30si
210si
。6
由2，得1si
1，
6
632
6
则10y210，故函数的值域为10，210。
说明：此法适用于两根号内自变量都是一次，且ac0，此时函数的定义域为闭区间，
如
x1，x2
，则可作代换
x
x2
x1si
2

x1
，且

0，2
，即可化为
yAsi
型的函数，无理函数类型有多种，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨探
讨一下。
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