设
xl
1t2dyd2y，求以及在t1处的曲率半径。分）（8dxdx2yarcta
t

1122dy1t21t21dyt3解：ttdxtdx2t221t1t
曲率k
yx
t1
1yxx
t1
2
t1

1y
x
yxx
232t1

11
2
232

22
，
则曲率半径
Rt1
12kt1
2
f6．求k的取值范围，使得方程exxk0有实根。分）（8解：设fxexxk
x
fxexfxex0
x
故fx有唯一极小值点x0l
，极小值为fl
1l
k。而limfx当fl
0时，方程有唯一实根，当fl
0时，方程有两个实根，于是，k1l
。7．设x136x
136x
12，试证limx
存在，并求此极限。分）（6

证：x13636x1x2，设x
1x
成立，则x
36x
136x
x
1x
单调递增。又
x1363622设x
12成立，
则x
36x
13622x
有上界。于是x
收敛。设limx
c，则c36cc2c22c30c2，limx
2。


8．设fx在01上可导，且f0ef1e1，试证至少存在一点01，使
2ff0。分）（6
解：设Fxe
2x
fxFx在01上连续，可导，且
Fxe2x2fxfxF0F1e
由罗尔定理，至少存在一点01，使F0，即2ff0。
9．求

1exe2x11exe2x1
dx（6分）exe2x1e2xdxdex1e2x1d1e2xx2x1e2xarcsi
e1ec2
解：

dx

10．
2求xarcta
xdx（6分）

x31x3x31x解：xarcta
xdxarcta
xdxarcta
xxdx2331x331x2
2

x311arcta
xx2l
1x2c366
3
fr