20192020年初中数学竞赛辅导（初2）第12讲平行四边形平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用．由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：1平行四边形对角相等；2平行四边形对边相等；3平行四边形对角线互相平分．除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：1两组对角分别相等的四边形是平行四边形；2两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3对角线互相平分的四边形是平行四边形；4一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．例1如图232所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DNBM．求证：EF与MN互相平分．
分析只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手．
证因为ABCD是平行四边形，所以
ADBC，ABCD，∠B∠D．又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而
AECF．所以Rt△ABE≌Rt△CDFHL，或AAS，BEDF．又由已知BMDN，所以
△BEM≌△DFNSAS，
fMENF．①又因为AFCE，AMCN，∠MAF∠NCE，所以
△MAF≌△NCESAS，所以MFNF．②由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分．例2如图233所示．Rt△ABC中，∠BAC90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AECF．
分析AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AGGH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AEHE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解．
证作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GAGH，从而
△ABG≌△HBGAAS，所以ABHB．①在△ABE及△HBE中，
∠ABE∠CBE，BEBE，所以△ABE≌△HBESAS，所以AEEH，∠BEA∠BEH．下面证明四边形EHCF是平行四边形．因为AD∥GH，所以∠AEG∠BGH内错角相等．②又∠AEG∠GEH因为∠BEA∠BEH，等角的补角相等，∠AGB∠BGH全等三角形对应角相等，所以
∠AGB∠GEH．
f从而EH∥AC内错角相等，两直线平行．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以FCEHAE．
说明本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的角平分线上的点到角的两边距离相等，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCr