高一数学竞赛练习题（高一数学竞赛练习题（三）
一、选择题1已知集合，则＝（），
A解：
BＲ
C
D
没有实数可以使上述不等式成立。故2以A2B3
。从而有）
。
应选Ｃ。
为六条棱长的四面体个数为（C4D，6，
解：以这些边为三角形仅有四种：固定四面体的一面作为底面：当底面的三边为当底面的三边为
，
。
时，另外三边的取法只有一种情况，即时，另外三边的取法有两种情形，即，
；。
其余情形得到的四面体均在上述情形中。由此可知，四面体个数有３个。应选Ｂ。
3A01解：记B
2007重的末二位数字是（07C43D49ｋ重。题目要求
）
的末二位数。
其中Ｍ为正整数。由此可得二位数字的变化规律。2的末二位数字3
的末二位数与45
的末二位数字相同。首先来观察6789
的末
49
43
01
07
49
43
01
07
的末二位数字的变化是以４为周期的规律循环出现。
1
f（因此，二、填空题与
为奇整数）
（
为正整数）Ｃ。
的末二位数字相同，为43。应选
4设
为方程
的根（
）则，。由此可得
。
解：由题意，，，以及
。
。
答案为：5设
。均为非负实数，则的最小值为。，，
解：在直角坐标系中，作点，Ｉ＝＝＋＋如果取2007。答案为2007。6设＋＋，即＋＋
，。则
（应用三角不等式）＝2007。，那么Ｉ取到最小值
是定义在Ｒ上的奇函数，且满足
；又当
时，
，则解：依题意，
＝，即
。是以４为周期的周期函数。
2
f因为当
时，
，且
为奇函数，所以当
时，
。
此时有以４为周期的周期函数，
。可得
。又因为
是
所以也有
，（
）。答案为
（
）。
7设
，则不超过
的最大整数为
。
解：




不超过三、解答题8设正实数
的最大整数为
。
答案为
。
及非负实数
满足条件
求
的最小值，并论证之。
3
f解：根据
，有
…………5分
…………10分
（
）
…………15分上式取等号当且仅当9设则称解：令显然对任意因此。，不存在，使得，为“好集”。求最大的为子集。若。，且存在…………20分，，，
，使含的任意33元子集为好集。，。成立。故Ｐ是非好集。
下面证明：包含21的任意一个33元子集Ａ一定为好集。设。
若1，3，7，42，63中之一为集合Ａ的元素，显然为好集。现考虑1，3，7，42，63都不属于集合Ａ。构造集合，，，，，，，，
4
f，，由上可见，，也即
，。
，
，
，
每个集合中两个元素都是倍数关系。考虑最不利的情况，即中16个元素全部选作Ａ的元r