《有限元》讲义
第2章
21
弹性力学平面问题有限单元法
三角形单元tria
gularEleme
t
三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单故首先介绍之。一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为：相应结点力列阵为式211
de
uividiujdjvjudmmvm
F
e
XYiFiXjFjYjFXmmYm
i
211
二、单元位移函数和形状函数
前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。构造位移函数的方法是：以结点ijm为定点。以位移uivi…umvm为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。在平面应力问题中，有uv两个方向的位移若假定单元位移函数是线性的则可表示成
uuxyxy123vvxy45x6y
1
212a
式中的6个待定常数α1…α6可由已知的6个结点位移分量3个结点的坐标
f《有限元》讲义
确定。将3个结点坐标xiyixjyjxmym代入上式得如下两组线性方程
ui12xi3yiuj12xj3yjum12xm3ym
和
a
利用线性代数中解方程组的克来姆法则由a可解出待定常数1、2、
vi45xi6yivj45xj6yjvm45xm6ym
A1AA2A
b
3

1
2
3
A3A
式中行列式
uixiyiAujxjyj1umxmym
1xiuiA31xjuj1xmum
1uiyiA21ujyj1umym
1xiyiA1xjyj2A1xmym
A为△ijm的面积只要A不为0则可由上式解出
11aiuiajujamum2A21bububu2Aiijjmm31ciuicjujcmum2A
式中
2
（C）
f《有限元》讲义
aixjymxmyjajxmyixiymamxiyjxjyibiyjymbjymyibmyiyjcixmxjcjxixmcmxjxiaixjymxmyibiyjymcixmxj
为了书写方便，可将上式记为
（d）
ijm
ijm表示r