二项式定理
1．知识精讲：
（1）二项式定理：ab
C
0a
C
1a
1bC
ra
rbrC
b
（
N）
其通项是Tr1

C
r

a


r
b
r
（r012……
），知4求1，如：T6T51C
5ab
55
亦可写成：Tr1

C
r
a



ba

r
ab
C
0a
C
1a
1b1rC
ra
rbr1
C
b
（
N）
特别地：1x
C
0x
C
1xC
rx
rC
x
（
N）
其中，
C
r

二项式系数。而系数是字母前的常数。
例1．C
13C
29C
33
1C
等于（）
A．4
B。34

C。4
13
4
1
D
3
解：设S
C
13C
29C
33
1C
，于是：
3S
3C
132C
233C
33
C
C
03C
132C
233C
33
C
1
故选D
例2．（1）求12x7的展开式的第四项的系数；
（2）求
x

1
9
的展开式中
x3
的系数及二项式系数新疆王新敞
奎屯
x
解：（1）12x7的展开式的第四项是T31C732x3280x3，
∴12x7的展开式的第四项的系数是280．
（2）∵x
1x
9
的展开式的通项是
Tr
1

C9rx9r
1rx

1rC9rx92r
，
∴92r3，r3，
∴x3的系数13C9384，x3的二项式系数C9384．
（2）二项展开式系数的性质：①对称性在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的
二项式系数相等，即
C
0


C



C
1


C

1


C
2


C


2

C
k


C

k


②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果
f二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即
偶数：
C
r

maxC
2
T
；1
2
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大，即
C
r

1
maxC
2

1
C
2
T
11T
11。
2
2
③所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于
2


即
C
0


C
1




C



2
；
奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即
C
0

C
2

C
1


C
3



2
1
例3．已知12x7a0a1xa2x2a7x7，求：
（1）a1a2a7；（2）a1a3a5a7；（3）a0a1a7
解：（1）当x1时，12x71271，展开式右边为
a0a1a2a7
∴a0a1a2a71，
当x0时，a01，∴a1a2a7112，
（2）令x1，a0a1a2a71
①
令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737
②
①②
得：2a1a3a5a7137，∴
a1
a3

a5

a7

1372

（3）由展开式知：a1a3a5a7均为负，a0a2a4a8均为正，
∴由（2）中①②得：2a0a2a4a6137，
∴
a0

a2

a4

a6

1372
，
∴a0a1a7a0a1a2a3a4a5a6a7
a0a2a4a6a1a3a5a737
新疆王新敞
奎屯
f例4．（1）如果在
x

124
x


的展开式中，前三项的系数成等差数列，r