第十二章数项级数2正项级数
一、正项级数收敛的一般判别原则概念：若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数各项都是正数组成的同号级数称为正项级数
定理125：正项级数u
收敛的充要条件是：部分和数列S
有界，
即存在某正数M，对一切正整数
，有S
M证：∵ui0i12…，∴S
递增根据数列的单调有界定理，得证
定理126：比较原则设u
和v
是两个正项级数，如果存在某正
数N，对一切
N，都有：u
≤v
则：
1若级数v
收敛，则级数u
也收敛；2若级数u
发散，则级数v
也发散
证：由改变级数的有限项不影响其收敛性，
不妨设对一切正整数，u
≤v
都成立
以S’
和S”
分别记级数u
和v
的部分和，则对一切正整数
，
有S’
≤S”

1若
v

收敛，则
limS”

∞
存在，记为
S，则
S’
≤S，即S’
有界，
∴u
也收敛
2若级数v
收敛，由1知级数u
收敛，矛盾！得证
f例
1：考察



2
1


1
的收敛性
解：当
≥2时，11
2
1
1
∵正项级数
1
1
收敛，∴


2
1

1
也收敛
推论：设u
u1u2…u
…与v
v1v2…v
…
是两个正项级数，若limu
l则
v
∞
1当0l∞时，同时收敛或同时发散；
2当l0且级数v
收敛时，级数u
也收敛；3当l∞且级数v
发散时，级数u
也发散
证：1当0l∞时，对任意正数εεl，存在某正数N，当
N时，
恒有u
lε，即lεv
u
lεv
显然，
v
若v
收敛，则lεv
收敛，∴u
也收敛；若v
发散，则lεv
发散，∴u
也发散2当l0时，由u
lεv
εv
，可知v
收敛时，u
也收敛
3当l∞时，任给正数M，存在相应的正数N，当
N时，都有
u
v

M，即
u
Mv
，由比较原则知：若v

发散时，u

也发散
例
2：证明：级数

12


收敛
f1
证：∵lim2
lim11，

∞1

∞
1


2

2

又等比级数
12

收敛，∴级数
12


也收敛
例
3：证明：级数
si

1

si
1si

12
…si

1

…发散
si
1
证：∵lim
1
∞
1，又调和级数
1

发散，∴级数si

1

也发散


二、比式判别法和根式判别法
定理127：达朗贝尔判别法，或称比式判别法设u
为正项级数，
且存在某正整数N0及常数q0q1
1若对一切


N0，不等式
u
1u

≤q
成立，则级数u

收敛；
2若对一切


N0，不等式
u
1u

≥1
成立，则级数u

发散
证：1不妨设不等式u
1≤q对一切
≥1都成立，于是有
u

u2≤qu3≤q…u
1≤q…把前
1个不等式的左右各相乘得
u1
u2
u

u2u3…u
≤q
1，即u
≤u1q
1
u1r