专题九
思想方法专题
第一讲
函数与方程思想
一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题．
1．方程思想就是将所求的量或与所求的量相关的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件列出方程组，通过解方程组或对方程组进行研究，使问题得到解决．2．方程思想与函数思想密切相关：方程fx＝0的解就是函数y＝fx的图象与x轴的交点的横坐标；函数y＝fx也可以看作二元方程fx－y＝0，通过方程进行研究，方程fx＝a有解，当且仅当a属于函数fx的值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要．
1
f可用函数与方程思想解决的相关问题．1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：1借助有关初等函数的性质，解有关求值、解证不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；2在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的．2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：1解方程或解不等式；2带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识的应用；3需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；4构造方程或不等式求解问题．
判断下面结论是否正确请在括号中打“√”或“×”．1函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．×2函数y＝fx在区间a，b内有零点函数图象连续不断，则fafb0×3二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0在b2－4ac0时没有零点．√4只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．×5函数y＝2si
x－1的零点有无数多个．√
2
f16函数fx＝kx＋1在1，2上有零点，则－1k－√2
1．方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为AA．1C．－1B．0D．－2
2．2014湖南卷已知fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且fx－gx＝x3＋x2＋1，则f1＋g1＝C
A．－3C．1
B．－1D．3
解析：分别令x＝1和x＝－1可得f1－g1＝3和f－1－g－1＝1，因为函数fx，gx分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f－1＝f1，g－1＝－g1，即f－1－g－1＝1f1＋g1＝
f（1）－g（1）＝3，f（1）＝r