高中恒成立问题总结
解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法①函数性质法②主参换位法③分离参数法④数形结合法。
核心思想
1恒成立问题的转化
afx恒成立afxmax
afx恒成立afxmi

2能成立问题的转化
afx能成立afxmi

afx能成立afxmax
3恰成立问题的转化
若xDfxA在D上恰成立fx在D上的最小值fmi
xA若xDfxB在D上恰成立fx在D上的最大值fmaxxB
4设函数fxgx，对任意的x1ab，存在x2cd，使得fx1gx2，则fmi
xgmi
x
设函数fxgx，对任意的x1ab，存在x2cd，使得fx1gx2，则fmaxxgmaxx
设函数fxgx，存在x1ab，存在x2cd，使得fx1gx2，则
fmaxxgmi
x
设函数fxgx，存在x1ab，存在x2cd，使得fx1gx2，则
fmi
xgmaxx
5若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象上方
若不等式fxgx在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数yfx和图象在函数ygx图象下方
6常见二次函数
①若二次函数
f
x

ax2

bx

ca

0

0（或

0
）在
R
上恒成立，则有
a

0（或0
a

00
）
②若二次函数fxax2bxca00（或0）在指定区间上恒成立，可以利用韦
达定理以及根的分布等知识求解
f一主参换位法
例1．对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取
值范围．
二二次不等式恒成立问题
例2．已知关于x的不等式m24m5x24m1x30对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
例3．已知函数fx2mx224mx1gxmx，若对于任一实数x，fx与
gx的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（
A．0，2
B．0，8
C．2，8
D．－∞，0
例4．已知函数fxx22kx2，在x1恒有fxk，求实数k的取值范围。
f三、分离参数法
形如“afx”或“afx”型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“afx在xD上恒成立，则afxmaxxDafx在xD上恒成立，则afxmi
xD”．许多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型．
例5当x12时，不等式x2mx40恒成立，则m的取值范围是
例6．已知二次函数fxax2x，若x01时，恒有fx1，求a的取值范围．
例7．设函数fx＝mx2－mx－1m≠0，若对于x∈13，fx＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
f例8．若不等式x2＋ax－20在区间15上有解，则a的取值范围是
A－253，＋∞
B－253，1
Cr