2008高考数学复习求递推数列通项公式的几种常见方法
递推公式是给出数列的重要方法，对于递推公式确定的数列的求解，是近几年高考中的热点问题通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列本文介绍求递推数列的通项公式的几种常见方法
一、累加相消法
利用恒等式a
a
a
1a
1a
2a2a1a1求通项公式的方法称为累
加相消法累加相消法是求形如a
a
1f
数列f
的前
项和可求的递推数列
通项公式的基本方法
例1已知a
中，a13a
1a
2
，求a
。
解：由a
1a
2
，得a
a
12
1
∴a
a
12
1
a
1a
22
2
………………
a3a222
a2a12
∴
以上各式相加得a
a12
12
2L
222
212
12
212
∴a
2
2a12
1
二、累乘相消法
用心爱心专心
f利用恒等式a


a
a
1
a
1a
2

a2a1
a1求通项公式的方法称为累乘相消法
累乘相消法
是求形如a
g
数列g
的前
项积可求的递推数列通项公式的基本方法a
1
例2
已知a
中，
a
1




2
a
，且
a1

2
，求数列a
的通项公式
解：由a
1




2
a

，得
a
1a



2
∴a21，a32，a43，a54，……，a
1
2，a
1
a13a24a35a46
a
2


a
1
1
∴以上各式相乘，得a
123L
2
12a1345
1
1
∴
a


4
1
例3已知数列a
，满足a11，a
a12a23a3…
－1a
－1
…2，则a
的通项
1

1
a
_______
…2
解：由a
a12a23a3
1a
1，得
a
1a12a23a3
2a
2
…3
两式相减得：a

a
1



1a
1
，即
a
a
1


…3
用累乘相消法可得a


a
a
1

a
1a
2
L
a3a2
a2


2
三、迭代法
通过对递推关系进行适当变形后，用下标较小的项替代下标较大的项，通过累次运算，最
终得出通项公式
用心爱心专心
f例4
已知数列a
的各项都是正数，且满足：
a1
1
a
1

12
a

4

a


N
求数列a
的通项公式a

解：
a
1

12
a

4

a



12
a


22

4
，所以
a
1

2


12
a


22
令b


a


2，则b



12
b2
1


12

12
b2
2
2


12


12
2
b22
1
L
r