重庆邮电大学2009级研究生矩阵分析考卷（A卷）
参考答案及评分细则
一、已知11210T，21111T，12101T，21137T求spa
12与spa
12的和与交的基和维数。（10分）
解：因为
spa
12spa
12spa
1212
2分
由于秩12123，且121是向量组1212的一个极大相信无关
组，所以和空间的维数是3，基为121。
2分
设spa
12spa
12
于是由交空间定义可知k11k22l11l22
此即
1121
k1

21

k2

11


l1

10

l2

1
3

0

0


1


1


7

解之得k1l1k24l2l13l2l2为任意数）
2分
于是
k11k22l25234T，（很显然l11l22）
所以交空间的维数为1，基为52，3，4T
2分
a10
二、证明：Jorda
块Ja0a1
00a
a0
相似于矩阵0
a


，这里

0为任意实数。（10
分）
00a
1
f证明：由于容易求出两个矩阵的不变因子均为11a3，从而这两个矩
a10a0
阵相似，于是矩阵Ja0
a
1与0
a


相似
00a00a
101
三、求矩阵
A


1
2
0

的
403
1Jorda
标准型；（2）变换矩阵P；（3）计算A100。（10分）
解（1）Jorda
标准型为
110
J


0
1
0

002
（2）相似变换矩阵为
3分
100
P


1
1
1

210
（3）由于P1APJ，因此A
PJ
P1，容易计算
3分
1990
100
A100


201

2100
2100
101

2100

4000
201
4分
01i
四、验证矩阵
A


1
0
0

是正规阵，并求酉矩阵U
，使UHAU为对角矩阵。10
i00
分
200
解
AAH

AH
A


0
1

i


A是正规矩阵
0i1
2分
2
f1i
EA1022令EA0得特征根
i0
1022i32i
当10时解得特征向量为10i1T
2分
当22i时解得特征向量为22i1T
当32i时解得特征向量为22i1T
3分
显然123正交将它们分别单位化得
v10i
12

2
v222i212
v3
22i212

0
22
22
令Ui
2

i2
i2

得
1
2
12

12

0
UH
AU

0

0
00
2i0
0

2i

3分
五、已知A是Hermit矩阵，且Ak0（k为自然数），试证：A＝0。（10分）
证明因为A是Hermit矩阵，所以存在酉矩阵U使得
于是从而
10
UAUH

0
2

00
0
0



其中
i
为
A
的特征根
且为实数


10
AUH

0
2
00
0
0
U


3分2分
3
f所以故

1k
Ak
UH

0
02k
00
0
0U0
k
12
0A0
2分3分


024
六、验证矩阵
A


12
0

2

为单纯矩阵，并求A
的谱分解。（10分）

1
1
0
42
24
解因为AE1
214
2332r