一阶泰勒公式其应用
1带有皮亚诺余项的泰勒公式
定理1若函数f在点x0存在直至
阶导数则有fxT
x0xx0
即
fx
fx0
f
x01


x

x0



f

x0



x

x0



0x

x0



（1）
即函数f在点x0处的泰勒公式；R
xfxT
x称为泰勒公式的余项
2带有Lagra
ge型余项的Taylor公式
定理2（泰勒）若函数f在ab上存在直到
阶的连续导函数在ab内存在
＋1
阶导函数则对任意给定的xx0ab至少存在一点ab使得：
fx
fx0
f
x01


x

x0



f

x0


x

x0


f
1
1
x

x0

1
2）
3、函数的Maclauri
公式
ex1xx2x
0x

2


si
xxx3x51m1x2m10x2m
35
2m1
cosx1x2x41mx2m0x2m1
24
2m
4、应用
l
1xxx2x31
1x
0x

23


1x1x1x21
10x

2


11xx2x
0x
1x
1把函数fx展开成
阶Maclauri
公式
f例１把函数fxsi
x2展开成含x14项的具Pea
o型余项的Maclauri
公式
解si
xxx3x5x7x7357
si
x2x2x6x10x14x14357
例２把函数fxcos2x展开成含x6项的具Pea
o型余项的Maclauri
公式
解cosx1x2x4x6x6246
cos2x12x24x426x6x636
注意kxxk0
cos2x11cos2x1x22x425x6x6
2
36
（２）求fx的
阶导数
例３fxx2l
1x，求f
0
3
fxx2l
1xx2xx2x
20x
2x3x4x
0x

2

2
2

2
又fxf0f0xf
0x
0x

1


所以，f
01，f
0


2

2
３利用Taylor公式求极限
例４
求极限
axax2
lim

x0
x2
a0
f解axexl
a1xl
ax2l
2ax22
ax1xl
ax2l
2ax22
axax2x2l
2ax2

lim
x0
ax
axx2

2

lim
x0
x2
l
2
ax2

x2

l
2
a

例５求极限lim11cotxx0xx
解lim11cotxlim1si
xxcosx
x0xx
x0xxsi
x
xx3x3x1x2x2
lim3
2
x0
x3

lim
x0
12
1x33
x3
x3

13

３利用Taylor公式求证明题
例６设fx在ab上二阶可导且fafb0则存在ab使得
f


4ba2
fbfa

证明xab将函数fx在点a与点b处Taylor展开
fx
fa
faxa
f
12
x

a2

a

1

x

ffx
fb
fbxb
f
22


x

b2

x

2
b
令
x

a
2
b
代入得：
fabfaf1ba2fabfbf2ba2
2
242
24
上述二项相减移项并取绝对值得
fbfaba2f2f1
4
2
ba2f2f1r