第十八届北京市大学生数学竞赛本科甲、乙组试题解答
（2007年10月14日下午2：305：00）
注意：本考卷共九题甲组九题全做注意：本考卷共九题甲组九题全做乙组只做前七题
填空题（一、填空题（每小题2分，共20分）m1设当x→1时1是x1的等价无穷小则m______1xLxm1解m3
2设fx解
x1x2Lx
则f′1________x1x2Lx
1
1f′1
1
13已知曲线yfx在点10处的切线在y轴上的截距为1则lim1f1
_____
→∞
1
解lim1f1e
→∞
k
4lim解

→∞
∑


e

1k
______
k1
原式e1
π2π2
5
∫
xsi
2xdx_________1cosx2
解原式4π
6设函数zfxy在点01的某邻域内可微且fxy112x3yoρ其中解切平面方程为2x3yz20x1y1z17直线绕z轴旋转的旋转曲面方程为_____________011解旋转转曲面方程x2y2z21
ρx2y2，则曲面zfxy在点01处的切平面方程为_____________
8设L为封闭曲线xxy1的正向一周，则解原式0
∫x
L
2
y2dxcosxydy____
9设向量场A2x3yzix2y2zjx2yz2k则其散度divA在点M112处沿方向l221的方向导数divAM______l22解原式3
f10设ye2x1xex是二阶常系数线性微分方程y′′αy′βyγex的一个特解则
α2β2γ2_______
解α2β2γ214
二、10分设二元函数fxyxyxy其中xy在点00的一个邻域内连续试证明函数fxy在00点处可微的充分必要条件是000
证必要性设fxy在00点处可微则fx′00fy′00存在fx0f00xx0由于fx′00limlimx→0x→0xxxx0xx000lim00故有000x→0x→0xx充分性若000则可知fx′000fy′000因为fxyf00fx′00xfy′00yxyxyxyx又≤222222xyxyxyx2y2xyxy所以lim0由定义fxy在00点处可微x→0x2y2y→0且lim
yx2y2
≤2
三、10分设fx在区间11上三次可微证明存在实数ξ∈11使得f′′′ξf1f1f′062
证f′′0f′′′ξ123f′′0f′′′ξ2f1f0f′0231f1f12f′0f′′′ξ1f′′′ξ26f1f0f′0
1由导数的介值性知存r