抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：
一、判断单调性和奇偶性
1判断单调性
根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数fx在区间3，7上是增函数且有最小值为5，那
y
么fx在区间7，3上是
A增函数且最小值为5
B增函数且最大值为5
C减函数且最小值为5
D减函数且最大值为5
分析：画出满足题意的示意图，易知选B。
5O
7335
7x
例2．偶函数fx在0，上是减函数，问fx在，0上是
增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知fx在，0上是增函数，证明如下：
任取x1x20x1x20因为fx在0，上是减函数，所以fx1fx2。又fx是偶函数，所以fx1fx1，fx2fx2，从而fx1fx2，故fx在，0上是增函数。
2判断奇偶性
y
O
x
根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求fx与fx的关系。
例3．若函数yfxfx0与yfx的图象关于原点对称，判断：函数
yfx是什么函数。
1
f解：设yfx图象上任意一点为P（x0，y0）yfx与yfx的图象关于原点对称，
Px0，y0关于原点的对称点x0，y0在yfx的图象上，y0fx0y0fx0又y0fx0fx0fx0即对于函数定义域上的任意x都有fxfx，所以yfx是偶函数。
二、证明单调性和奇偶性
1证明单调性
例4．已知函数fxgx1且fxgx定义域都是R且gx0g12gx是gx1
增函数gmg
gm
m、
∈R求证：fx是R上的增函数
解设x1x2
gx是R上的增函数且gx0
gx1gx20
gx11gx210

2
2
0
gx21gx11

2
2
0
gx21gx11
fx1fx2gx11gx211
2
1
2

gx11gx21gx11gx21
220gx21gx11
fx1fx2
2
ffx是R上的增函数
例5．已知fx对一切x，y，满足f00，fxyfxfy，且当x0时，fx1，求证：（1）x0时，0fx1；（2）fx在R上为减函数。
证明：对一切x，yR有fxyfxfy。且f00，令xy0，得f01，现设x0，则x0，fx1，而f0fxfx1fx11
fx0fx1，设x1，x2R且x1x2，则0fx2x11，fx2fx2x1x1
fxr