《概率论与数理统计》习题及答案第四章
1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1223，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以XY分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求XY的分布列解
XY的分布列为
XY
1016
123
21616
311216
其中
110126PX1Y1PX1PY1X10PX1Y2PX1PY2X1
121×436
余者类推。2．将一枚硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出XY的分布列及边缘分布列。解一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故XB3
12
1PXkC3k3k0123，于是XY的分布列和边缘分布为2
34
fXY
00
13
138
238
30
其中
1100881331pi8888PX0Y1PX0PY1X00，311PX1Y1PX1PY1X1C33×1，28
pj6828
余者类推。3．设XY的概率密度为
16xy0x22y4fxy80其它又（1）Dxyx1y3；（2）Dxyxy3。PXY∈D求131解（1）Pxy∈D∫∫6xydxdxy028x119436；8228413x1（2）PXY∈D∫∫6xydxdy028211113∫x1xdx∫3x24dx0y82025xy3244．设XY的概率密度为
CRx2y2fxy0
22
x2y2≤R2
其他
求（1）系数C；（2）XY落在圆xy≤r2rR内的概率解（1）1C
∫∫
x2y2≤R2
Rx2y2dxdyCπR3C∫
2π0
∫
R0
r2drdθ
35
f∴
32πR3πR3CπRC，333CπR3
222
（2）设Dxyxy≤r，所求概率为
PXY∈D
3Rx2y2dxdy3πRx2y2≤r2
∫∫

3πR3
2πr33r2πRr23R2
2r13R
5．已知随机变量X和Y的联合概率密度为
4xy0≤x≤10≤y≤1fxy0其它
求X和Y的联合分布函数解1设XY的分布函数为Fxy，则
Fxy∫
x∞
∫
y∞
0x0或y0xy4uvdudv0≤x≤10≤y≤1∫0∫0x1fuvdudv∫∫4uydudy0≤x≤1y1001y4xvdxdvx10≤y≤1∫0∫0x1y110x0或y022xy0≤x≤10r