求函数值域方法
一、基本知识1．定义：因变量y的取值范围叫做函数的值域（或函数值的集合）。2．函数值域常见的求解思路：⑴．划归为几类常见函数，利用这些函数的图象和性质求解。⑵．反解函数，将自变量x用函数y的代数式形式表示出来，利用定义域建立函数y的不等式，解不等式即可获解。⑶．可以从方程的角度理解函数的值域，如果我们将函数yfx看作是关于自变量x的方程，在值域中任取一个值y0，y0对应的自变量x0一定为方程yfx在定义域中的一个解，即方程yfx在定义域内有解；另一方面，若y取某值y0，方程yfx在定义域内有解x0，则y0一定为x0对应的函数值。从方程的角度讲，函数的值域即为使关于x的方程yfx在定义域内有解的y得取值范围。特别地，若函数可看成关于x的一元二次方程，则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件，利用判别式求出函数的值域。⑷．可以用函数的单调性求值域。⑸．其他。3．函数值域的求法（1）、直接法：从自变量x的范围出发，推出yfx的取值范围。或由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确判断函数值域的方法。例1：求函数y例2：求函数y例3：求函数y
x1x1x≥1的值域。x26x10的值域。
x1的值域。
2

1
解：∵x0，∴x11，∴函数y
x1的值域为1。
2
（2）、配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法。例1：求函数yx4x2（x11）的值域。
2
解：yx4x2x26，
22
∵x11，∴x231，∴1x29
22∴3x265，∴3y5
∴函数yx4x2（x11）的值域为35。
2
1
f（3）．最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。例1求函数y32xx2的值域。解：由32xx2≥0，解出定义域为［3，1］函数y在［3，1］内是连续的，在定义域内由32xx2。最大值为4，最小值为0。∴函数的值域是［02］例2：求函数y2x，x22的值域。
的
144738
例3：求函数y2x25x6的值域。
（4）、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。r