，则有解，若不等，则无解。向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以判断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个非常深刻而重要的概念，故有必要进一步研究向量组的秩的计算方法。
f线性代数知识点框架（三）为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。任取一个矩阵A，通过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩kJ的行秩kJ的列秩kA的列秩，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩。因此如果只需要求矩阵A的秩，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来方便。矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目
，有唯一解，r
，有无穷多解。齐次线性方程组的解的结构问题，可以用基础解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时，基础解系所含向量个数等于
r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解。通过对具体实例进行分析，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解。
f线性代数知识点框架（四）在之前研究线性方程组的解的过程当中，注意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进行专门探讨。矩阵的加法和数乘，与向量的运算类同。矩阵的另外一个重要应用：线性变换（最典型例子是旋转变换）。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，则矩阵AB对应的是旋转一个角度ar