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2008年浙江省高中数学竞赛试卷2008413
一选择题本大题满分36分每小题6分1已知集合Ayyx21x∈RBxx2x20则下列正确的是
AAIByy1
CA∪By2y1BAIByy2DA∪Byy2或y1





解因为Ayy≥1Bxx1或x2所以有AIByy1正确答案为A2当0x1时fxx则下列大小关系正确的是lgxBfx2f2xfxDfx2fxf2x
2

Af2xfx2fxC
fxfx2f2x
xxx2解当0x1时fx0fx20f2x02lgxlgxlgx
xx22xx22xx又因为0所以fxfx2f2x选C2lgxlgx2lgx2lgx
3设fx在01上有定义要使函数fxafxa有定义则a的取值范围为
111111A∞BC∞D∞∪∞222222
解函数fxafxa的定义域为a1a∩a1a当a≥0时应有a≤1a即a≤
11当a≤0时应有a≤1a即a≥22
因此选B
4已知P为三角形ABC内部任一点不包括边界且满足
uuuuuuuuuuuuvvvvuuuvPBPAPBPA2PC0则△ABC一定为

A直角三角形B等边三角形C等腰直角三角形D等腰三角形
rvrruuuuuuuuuuuuuuuvvvuuuuuuuuuv解因为PBPAABPBPA2PCCBCA所以已知条件可改写为
uuuuuuuuurrrABCBCA0容易得到此三角形为等腰三角形
因此选D
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5已知fxx2a2b21xa22abb2是偶函数则函数图象与y轴交点的纵坐标的最大值是A2B2C22D4
解由已知条件可知a2b210函数图象与y轴交点的纵坐标为a22abb2令
acosθbsi
θ则
a22abb2cos2θ2si
θcosθsi
2θcos2θsi
2θ≤2因此选A
6圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形O为底面中心M为SO的中点动
点P在圆锥底面内包括圆周若AM⊥MP则P点形成的轨迹的长度为
A7B

72
C
3
D
32
3Pxy0于是2
解建立空间直角坐标系设A010B010S003M00
uuuur3uuur3有AM01MPxy由于AM⊥MP所以22
01
333xy0即y此为P点形成的轨迹方程其在底面圆盘内的长度224
37为21242
因此选B
二填空题本题满分54分每小题9分
7cos1x25x7x25x6

解根据题意要求x25x6≥00r