1989年全国高中数学联赛
冯惠愚
1989年全国高中数学联赛
10月15日上午8∶0010∶00一．选择题本题满分30分，每小题5分：1．若A、B是锐角△ABC的两个内角，则复数zcosB－si
Aisi
B－cosA在复平面内所对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限12．函数fxarcta
xarcsi
x的值域是2A．－π，π33B．－π，π4433C．－π，π4411D．－π，π22
D．第四象限
3．对任意的函数yfx，在同一个直角坐标系中，函数yfx－l与函数yf－xl的图象恒A．关于x轴对称B．关于直线xl对称C．关于直线x－l对称D．关于y轴对称4．以长方体8个顶点中任意3个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为A．0B．6C．8D．245．若Mzzt1ti，t∈R，t≠－1，t≠0，1tt
Nzz2cosarcsi
ticosarccost，t∈R，t≤1．则M∩N中元素的个数为A．0B．1C．26．集合Muu12m8
4l，其中m，
，l∈ZNuu20p16q12r，其中p，q，r∈Z的关系为A．MNB．MN，NMC．MN
D．4
D．NM
三．填空题本题满分30分，每小题5分1．若loga21，则a的取值范围是．2．已知直线l：2xy10，过点－10，0作直线l⊥l，则l与l的交点坐标为．3．设函数f0xx，f1xf0x－1，f2xf1x－2，则函数yf2x的图象与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是4．一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身成等比数列，则该数为．5．如果从数1，2，3，…，14中，按由小到大的顺序取出a1，a2，a3，使同时满足a2－a1≥3，与a3－a2≥3，那么，所有符合上述要求的不同取法有种．6．当s和t取遍所有实数时，则s5－3cost2s－2si
t2所能达到的最小值为．三．本题满分20分已知a1，a2，…，a
是
个正数，满足a1a2…a
1．求证：2a12a2…2a
≥3
．四．本题满分20分已知正三棱锥SABC的高SO3，底面边长为6，过点A向其所对侧面SBC作垂线，垂足为O，在
1
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S
AO上取一点P，使
AP8，求经过点P且平行于底面的截面的面积．PO
五．本题满分20分已知：对任意的
∈N，有a
0，且
ΣΣa．求证：a
．
aj
3j2




j1
j1
第二试上午10∶3012∶30
AOB
C
一．本题满分35分已知在ΔABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证2AFABAC．EAF二．本题满分35分已知xi∈Ri1，2，…，
；
≥2，满足
Σx1，Σx0，
ii



B
C
i1
i1
求证：
≤－．22
Σi
xi11
ir