换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通
过变形才能发现。例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t0），而变为熟悉
的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角
知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝x＋1x的值域时，易发现x∈01，设x
＝si
2α，α∈0，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中2
主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r0）
时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsi
θ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S＋t，y＝S－t等等。
2
2
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范
围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例
中的t0和α∈0。2
Ⅰ、再现性题组：
1y＝si
xcosx＋si
xcosx的最大值是_________。
2设fx2＋1＝log4－x4（a1），则fx的值域是_______________。a
3已知数列a中，a＝－1，aa＝a－a，则数列通项a＝___________。


1

1


1



4设实数x、y满足x2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。
13x5方程13x＝3的解是_______________。
6不等式log22x－1log22x1－2〈2的解集是_______________。
f【简解】1小题：设si
xcosx＝t∈－22，则y＝t2＋t－1，对称轴t＝－1，
2
2
当t＝
2
，y
max
＝
12
＋
2；
2小题：设x2＋1＝tt≥1，则ft＝logt12＋4，所以值域为－∞log4；
a
a
3小题：已知变形为1－1＝－1r