中国科学院中国科技大学2001年招收攻读硕士学位研究生入学试卷试题名称：量子力学（实验型）
一、（10分）设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动
x0xaVx00xa
试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。二、（10分）设一个质量为m的粒子束沿正x方向以能量E向x0处的势垒运动
0x0Vx3Ex04
试用量子力学的观点回答：在x0处被反射的反射系数是多少？
和动量算符p，三、（20分）1、在坐标表名胜中写出一维量子体系的坐标算符q
并推导其间的对易关系。2、在动量表象中做1所要求做的问题。四、（20分）设一个微观粒子在球对称的中心势场Vr中运动，且处于一个能量和轨道角动量的共同本征态。1、在球坐标系中写出能量本征态波函数的基本形式，写出势能Vr在此态中平均值〈V〉的表达式，并最后表示成径向积分的形式。dV0）2、设Vr为r的单调上升函数（即对任意r。试证明：对任意给dr定的r0，均有
VrVRr
roo
2
r2dr0，
其中Rr是径向波函五、（20分）设一个质量为m的微观粒子的哈密顿量不显含时间，试证明：在能量表象中有
2E
EmX
m

h22m
其中E为能量，x为坐标。
六、（20分）设一微观体系的哈密顿HH0H‘，其中H’为微扰。在一个由正交
f归一函数作为基的表象中。
100H00200020c0Hc0000c

其中c为常数1、求H的精确本征值2、求H的准确到微扰的二级修正的本征值3、比较1和2的结果，指出其间关系。
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