量的概念与运算1）概念2）运算若α＝a1a2…a
T，β＝b1b2…b
T①加法：α＋β＝a1b1a2b2…a
b
T②数乘：kα＝ka1ka2…ka
T③内积：（αAβ）＝a1b1a2b2…a
b
＝αTβ＝βTα2、线性组合与线性表出3、线性相关与线性无关1）概念2）线性相关与线性无关的充要条件①线性相关α1α2…αs线性相关kk齐次方程组α1α2…αsx1x2…xsT＝D有非零解kk向量组的秩rα1α2…αs＜s向量的个数kk存在某αiik12…s可由其余s1个向量线性表出特别的：
个
维向量线性相关kk│α1α2…α
│＝D
1个
维向量一定线性相关②线性无关α1α2…αs线性无关kk齐次方程组α1α2…αsx1x2…xsT＝D只有零解kk向量组的秩rα1α2…αs＝s向量的个数kk每一个向量αiik12…s都不能用其余s1个向量线性表出③重要结论A、阶梯形向量组一定线性无关B、若α1α2…αs线性无关，则它的任一个部分组αi1αi2…αit必线性无关，它的任一延伸组必线性无关。C、两两正交，非零的向量组必线性无关。4、向量组的秩与矩阵的秩1）极大线性无关组的概念2）向量组的秩3）矩阵的秩①rA＝rAT②rABrrA＋rB③rkA＝rA，kDD④rABrri
rA，rB⑤如A可逆，则rAB＝rB；如B可逆，则rAB＝rA⑥A是r×
阵，B是
×p阵，如AB＝D，则rA＋rBr
4）向量组的秩与矩阵的秩的关系①rA＝A的行秩（矩阵A的行向量组的秩）＝A的列秩（矩阵A的列向量组的秩）②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变③若向量组（Ⅰ）可由（Ⅱ）线性表出，则rⅠrrⅡ。特别的，等价的向量组有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。
f5、基础解系的概念及求法1）概念2）求法对A作初等行变换化为阶梯形矩阵，称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元（共有rA个主元），那么剩于的其他未知数就是自由变量（共有
rA个），对自由变量阶梯形赋值后，再带入求解就可得基础解系。6、齐次方程组有非零解的判定1）设A是r×
矩阵，Ax＝D有非零解的充要条件是rA＜
，亦即A的列向量线性相关。2）若A为
阶矩阵，Ax＝D有非零解的充要条件是│A│＝D3）Ax＝D有非零解的充分条件是r＜
，即方程个数＜未知数个数7、非齐次线性方程组有解的判定1）设A是r×
矩阵，Ax＝b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵（A增）的秩，即rA＝rA增2）设A是r×
矩阵，方程组Ax＝b①有唯一解kkrA＝rA增＝
②有无穷多解kkrA＝rA增③无解kkrA1krA增8、非齐次线性方程组解的结构如
元线性r