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2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1.设复数z满足z1且zA.
15则z(z2
C.

45
B.
34
23
D.
12
【答案】D【解析】由z
155得z21z,已经转化为一个实数的方程.解得z=2(舍去),z22
1.2
2.在正四棱锥P-ABCD中,M、N分别为PA、PB的中点,且侧面与底面所成二面角的正切为2.则异面直线DM与AN所成角的余弦为(A.)C.
13
B.
16
18
D.
112
【答案】D【解析】本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知(不妨设为2),利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素,如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种是平移其中一条线段与另一条在一起.
fzPP
M
DO
N
CyBA
M
D
N
Ax
解法一:如图1,设底面边长为2,则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2.如图建立坐标系,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,2),则M
12
12112312132N,DMAN.设22222222222
所成的角为θ,则cos
DMANDMAN

1.6
f3.已知yx3x22x1,过点(-11)的直线l与该函数图象相切,且(-11)不是切点,则直线l的斜率为(A.2【答案】C
32【解析】显然(-11)在yxx2x1的图象上.设切点为x0x0x02x01,
)C.1D.2
B.1
3
2
2y3x22x2,所以k3x02x02.另一方面,
k
32x0x02x0112x0x023x02x02.所以x0=1所以k1.选C.x01
4.若ABA.
2,则cos2Acos2B的最小值和最大值分别为(3
B.,

33,22
12
32
C.
33,22
D.
1,2

22
【答案】B
22【解析】首先尽可能化简结论中的表达式cosAcosB,沿着两个方向:①降次:把三角
函数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个.
22解:cosAcosB
1cos2A1cos2B11cos2Acos2B222
11cosABcosAB1cosAB,可见答案是B2
f【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.我们来转化一下,就可以去掉三个圆,已知条件变为:ΔOO1O2边O1O2上一点C,OO1、OO2延长线上分别一点A、B,使r
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