2011年“华约”自主招生数学试题一、选择题1．设复数z满足z1且zA．
15则z（z2
C．
）
45
B．
34
23
D．
12
【答案】D【解析】由z
155得z21z，已经转化为一个实数的方程．解得z＝2（舍去），z22
1．2
2．在正四棱锥P－ABCD中，M、N分别为PA、PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切为2．则异面直线DM与AN所成角的余弦为（A．）C．
13
B．
16
18
D．
112
【答案】D【解析】本题有许多条件，可以用“求解法”，即假设题中的一部分要素为已知，利用这些条件来确定其余的要素．本题中可假设底面边长为已知（不妨设为2），利用侧面与底面所成二面角可确定其他要素，如正四棱锥的高等．然后我们用两种方法，一种是建立坐标系，另一种是平移其中一条线段与另一条在一起．
fzPP
M
DO
N
CyBA
M
D
N
Ax
解法一：如图1，设底面边长为2，则由侧面与底面所成二面角的正切为2得高为2．如图建立坐标系，则A（1，－1，0），B（1，1，0），C（－1，1，0），D（－1，－1，0），P（0，0，2），则M
12
12112312132N，DMAN．设22222222222
所成的角为θ，则cos
DMANDMAN

1．6
f3．已知yx3x22x1，过点（－11）的直线l与该函数图象相切，且（－11）不是切点，则直线l的斜率为（A．2【答案】C
32【解析】显然（－11）在yxx2x1的图象上．设切点为x0x0x02x01，
）C．1D．2
B．1
3
2
2y3x22x2，所以k3x02x02．另一方面，
k
32x0x02x0112x0x023x02x02．所以x0＝1所以k1．选C．x01
4．若ABA．
2，则cos2Acos2B的最小值和最大值分别为（3
B．，
）
33，22
12
32
C．
33，22
D．
1，2

22
【答案】B
22【解析】首先尽可能化简结论中的表达式cosAcosB，沿着两个方向：①降次：把三角
函数的平方去掉；②去角：原来含两个角，去掉一个．
22解：cosAcosB
1cos2A1cos2B11cos2Acos2B222
11cosABcosAB1cosAB，可见答案是B2
f【答案】B【解析】题目中的条件是通过三个圆来给出的，有点眼花缭乱．我们来转化一下，就可以去掉三个圆，已知条件变为：ΔOO1O2边O1O2上一点C，OO1、OO2延长线上分别一点A、B，使r