在区间I上有定义当且仅当曲线yfx的切线恒保持在曲线以下则成
fx为凸函数若除切点之外切线严格保持在曲线下方则称曲线fx为严格凸的
引理1定义2与定义3等价
2
f黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文
引理2若fx连续则定义1，2，3等价
2凸函数的性质
定理1设fx在区间I上有定义则以下条件等价（其中各不等式要求对任意
x1x2x3∈Ix1x2x3保持成立）：
（i）fx在I上为凸函数（1）
（ii）
fx2fx1≤fx3fx1x2x1x3x1fx3fx1fx3fx2≤x3x1x3x2fx2fx1≤fx3fx2x2x1x3x2
（2）
iii
（3）
iv
（4）
推论1若fx在区间I上为凸函数，则I上任意三点x1x2x3，有
fx2fx1fx3fx1fx3fx2≤≤x3x1x3x2x2x1
推论2若fx在区间I上的凸函数，则x0∈I过x0的弦的斜率kx
fxfx0是xx0
x的增函数（若f为严格凸的则kx严格增）推论3若fx是区间I上的凸函数，则I上任意四点stuv有
ftfsfvfu≤tsvu
推论4若fx是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x单侧导数f′xf′x皆存在，皆为增函数，且f′x≤f′xx∈I0这里I0表示I的全体内点组成之集合（若f为严格凸的，则f与f为严格递增的）证明因x为内点故x1x2∈I使得x1xx2从而（利用推论

2）
fx1fxfx2fxfx1fx≤再由推论2所述当x1递增时也递增故由单调有x1xx2xx1x
3
f黄山学院2008届数学与应用数学专业学年论文
界原理知如下极限存在且fxlim


x1→x0
fx1fxfx2fx≤同理在此式中，令x2→xx1xx2x

时可知fx存在且fx≤fx最后由推论3中的不等式重新取相应的极限可知f与f皆为增函数推论5若fx在区间I上为凸的，则f在任一内点x∈I上连续
0
事实上由推论4知f′与f′存在，所以f在x处左右都连续定理2设函数fx在区间I上有定义，则fx为凸函数的充要条件是：x0∈Iα，使
0
得x∈I有fx≥αxx0fx0证明（必要性）因fx为凸函数，由上面的推论4知，x0∈Ifx0存在且
0
fxfx0→fx0由此任取一r