函数、极限和连续中的难点、疑点解析及重要公式与结论
文章来源：文都教育
函数、极限和连续是高数或微积分的基础，且与后边的内容联系比较紧密，如导数的概念、定积分的定义等等都是用极限进行定义的，是我们必须要掌握的内容。同学们在刚开始学习时一定打好基础，为了更好的学习这章的内容，文都教研组的老师对这部分的难点和疑点进行分析，以及给出一些重要的公式与结论。1函数的奇偶性、周期性与导数、积分间的联系：（1）设fx是可导的偶函数，则fx为奇函数，且f00；设fx是可导的奇函数，则fx为偶函数。（2）设fx连续，若fx是偶函数，则
ftdt为奇函数；
0
x
若fx是奇函数，则对任意的a，（3）设fx在aa上连续，则若fx是偶函数，则若fx是奇函数，则
ftdt为偶函数。
a
x

a
aa
fxdx2fxdx；
0
a
a
fxdx0。
（4）可导的周期函数的导函数仍然是同周期函数。（5）设fx是以T为周期的函数，则

aT
a
fxdxfxdx2Tfxdx，
0
2
T
T

xx0xx0xx0

T
0
fxdx
fxdx。
0
T
2在自变量不同变化过程中的函数极限及其联系：（1）limfxAlimfxlimfxlimfxA；
xx0
（2）limfxAlimfxlimfxlimfxA；
xxxx
（3）limfxAlimf
A；
x

（4）设limx
x0，且x
x0，limfxA，则limfx
limfxA。

xx0


xx0
【注】根据结论（3）和（4）可以利用函数极限求数列的极限。3连续的隐含条件：
12
f（1）设函数fx在x0处连续，则fx0limfx；
xx0
（2）设函数fx在ab上连续，则fx在ab上可积，且可构造fx的原函数为
ftdtaxb，对fx可应用最值、介值、零点定理。
a
x
4两个重要极限的一般形式：（1）设x0xa，则
lim
si
x1；xax
（2）设fx1xa，gxxa，则：
limfx
xa
gx
exa
limgxl
fx
exa
limgxfx1
，
因l
fxl
1fr