例，利用格林公式不难得到三维空间调和函数的积分表达式定理定理（调和函数的积分表达式）设函数uxyz在闭区域D上有连续的一阶偏导数，且uxyz在区域D内调和（即u0在
D内成立），那么对于D内任意固定的一点M0x0y0z0就有
111uruM0∫∫r
u
dS4πS
M0∈D
这里M为点xyz，并有
rrMM0xx02yy02zz02
事实上，设M0x0y0z0为区域D内任意固定的一点，Mxyz为D上的一个动点，动点M到定点M0的距离
rrMM0xx02yy02zz02
r
M0M

1注意到函数除点M0外，处处调和，r为了要应用格林公式，必须将点M0挖去为此，以M0点为球心，充分小的正数
3
fMMMρ（0为半径作球体Kρ用Sρ表示这个小球Kρ的球面记区
000
M域D1DKρ0通常称区域D内挖去点M0这时区域D1的表面为MSUSρ0
1M于是函数uv在闭区域D1D1USUSρ0上可用格林公式，就r有
11111u1urr∫∫∫urrudV∫∫u
r
dS∫∫0u
r
dSMSD1Sρ1因为在区域D1内u00，上式左边等于零，由此得r111u1urr∫∫u
r
dS∫∫0u
dS∫∫0r
dS0MMSSρSρ
现在讨论上式左边的后两项积分注意到，对区域D1而言，小球
M面Sρ0的外法线方向应指向球心M0与半径r的方向刚好相反，
1111M这样上式第二项积因此在球面Sρ0上有rr22，
rrρ
分有
1u12r∫∫0u
dS∫∫0ρ2dSρ2uM14πρ4πuM1MMSρsρ
M这里用到积分中值定理，M1为球面Sρ0上的某一点
对于上式第三项积分，用积分中值定理有
MSρ0
∫∫r
dSρ4πρ
1u
1
2

uuM24πρ
M2

4
fM这里M2为Sρ0上的某一点
u在M0点的邻域内是有界的，让ρ→0，则M1、M2
趋于球心M0所以第三项积分趋于零，由此得
因为
11ur∫∫u
r
dS4πuM00S
从而得到有界区域D内调和函数u的积分表达式：
111uruM0∫∫r
u
dS4πSM0∈D
这个公式说明，调和函数u在区域D内任意一点M0处的值u可以由它的边界S上的值和它在边界S上的法向导数的值来确
定，这对解边值问题提供了方便推论：若u在有界区域D内是二阶连续的可微函数，则有积推论分表达式
111u1ruM0∫∫rvu
dr