不动点法求数列的通项
惠来县第一中学方文湃
自从实施新课程标准，使用新教材以来，高考题中出现了数列的解答题的次数好象不少。如2007年普通高考广东数学理科卷压轴题第21题、2011年普通高等学校招生全国统一考试数学广东卷理科第20题，这两道题都是已知数列的递推式，求它的的通项公式，并且求法都与“不动点”有关。
记函数fx的定义域为D，若存在D，使＝f成立，则称（，）
为坐标的点为函数fx图象上的不动点。以此类推，在数列a
中，a
1fa

N，若存在满足方程＝f，称为不动点方程＝f的根。下面介
绍的一些数列，可先求生成函数（递推式）的不动点，通过换元后，化为等差、
等比数列，再求这些数列的通项，这一方法，我们不妨称为不动点法。
一、递推式为a
1aa
ba0a1ab均为常数型的数列
由递推式a
1aa
b总可变形为
a
1－a（a
－）
…………………………（１）
（１）式中的与系数ab存在怎样的关系呢？
由（１）得a
1aa
＋－a
∴b－a即＝ab
…………………………（２）
关于的方程（２）刚好是递推式a
1aa
b中的aa
，
1都换成得到的不
动点方程。
令b
a
－代入（１）得b
1ab
一般来说，可先求等比数列b
的通项，再求数列a
的通项。
lim例１：在数列a
中，已知a11a
11－1a
2

N求


a。

解：令x1－1x得x2
2
3
a
1－21－1a
－2－1a
－2
3232
3
令b
a
－2，则b
1－1b

3
2
∴数列b
成首项为b1a1－21－21，公比为q＝－1的等比数列，于
3
33
2
是有
惠来县第一中学方文湃
1
fb
1－1
－1即a
－2＝1－1
－1
32
332
∴a
21－1－1
332
lim∴a2
3


限于篇幅，求这种类型的数列的通项，其它的解法就不说了。
二、递推式为a
1aa
b（c0abcd为常数）型的数列
ca
d
a
1－
aa

b－
＝
a
ca

bd
aca


bdac
ca
d
ca
d
ca
d
令＝－bd可化得ac
＝abcd
…………………………（３）
关于的方程（３）刚好是递推式a
1aa
b中的a
，a
1都换成后的不
ca
d
动点方程。
○1当方程（３）有两个不同根１，２时，有
a
1－１＝ac1a
1
ca
d
a
1－２＝ac2a
2
ca
d
∴a
11＝ac1a
1a
12ac2a
2
令
b
a
a

12
有
b
＋１＝
aa

c1c2
b

一般来说，可先求等比数列b
的通项，后求数列a
的通项。
lim例２：数列｛a
｝由
a
1
2，a
1
3a
1a
3
（
≥1）给出，求


a。

解：令x3x1得x11x21，于是有x3
惠来县第r