粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
1.3氦原子的动能是E3kT(k为玻耳兹曼常数),求T1K时,氦原子的德2
布罗意波长。解根据
1kK103eV,知本题的氦原子的动能为
E3kT3kK15103eV22
显然远远小于核c2这样,便有
hc2核c2E
3
f这里,利用了
124106
m
23710915103
037109m
037
m
核c24931106eV37109eV
最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相庆的德布罗意波长就为
hchc2c2E2kc2T
据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布玻色分布或费米公布。
1.4利用玻尔索末菲的量子化条件,求:(1)一维谐振子的能量;(2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H10T,玻尔磁子MB91024JT1,试计算运能的量子化间
隔△E,并与T4K及T100K的热运动能量相比较。解玻尔索末菲的量子化条件为
pdq
h
其中q是微观粒子的一个广义坐标,p是与之相对应的广义动量,回路积分是沿运动轨道积一圈,
是正整数。
(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为μ,于是有
Ep21kx222
这样,便有
p2E1kx22
这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈。此外,根据
E1kx22
可解出
x
2Ek
4
f这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样,根据玻尔索末菲的量子化条件,有
x2E1kx2dxx2E1kx2dx
h
x
2
x
2
x2E1kx2dxx2E1kx2dx
h
x
2
x
2
x2E1kx2dx
h
x
2
2
为了积分上述方程的左边,作以下变量代换;
这样,便有
x2Esi
k
22
2Ecos2d
2Ek
si
2
h
22
2Ecos
2Ecosd
h
k
2
2
2E
2
co2sdr