04．于是，M014→DM＝014，D→A1＝404，A→B1＝024．设平面DA1M的法向量为
＝x，y，z，
A400，

D→M＝0则
D→A1＝0
，即y4＋x＋4z4＝z＝00
取z＝－1，得x＝1，y＝4所以平面DA1M的一个法向量为
＝14，－1．设直线AB1与平面DA1M所成角为θ，则si
θ＝
A→BA→1B1＝1150，
所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为115014．方法一1证明如图所示，连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD
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f鼎盛大华（经典资料）
又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE作BK⊥EC，K为垂足．因为平面EDC⊥平面SBC，
故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，所以DE⊥平面SBC，
所以DE⊥EC，DE⊥SB
又DB＝
AD2＋AB2＝
2，SB＝
SD2＋DB2＝
6，DE＝SDSBDB＝
2，
3
EB＝DB2－DE2＝36，SE＝SB－EB＝236，所以SE＝2EB
2解由SA＝SD2＋AD2＝5，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝
故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，
13SA2＋23AB2＝1又AD＝1
则AF⊥DE，AF＝AD2－DF2＝36连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE所以∠AFG是二面角A－DE－C的平面角．
连结AG，AG＝
2，FG＝
DG2－DF2＝
63
cos∠AFG＝AF22＋AFFG2－FGAG2＝－12
所以二面角A－DE－C的大小为120°
方法二1证明
以D为坐标原点，线段DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z图所示的直角坐标系D－xyz，设A100，则B110，C020，
S→C＝02，－2，B→C＝－110．设平面SBC的法向量为
＝a，b，c，由
⊥S→C，
⊥B→C，得
S→C
＝0故2b－2c＝0，－a＋b＝0令a＝1，则b＝1，c＝1，
＝111．
又设S→E＝λ→EBλ＞0，则E1＋λλ，1＋λλ，1＋2λ，D→E＝1＋λλ，1＋λλ，1＋2λ，D→C＝020．设平面CDE的法向量m＝x，y，z，
由m⊥DE，m⊥DC，得mDE＝0，mDC＝0
故1λ＋xλ
＋1λ＋yλ
2z＋1＋λ
＝02y＝0
令x＝2，则m＝20，－λ．
由平面DEC⊥平面SBC，得m⊥
所以m
＝02－λ＝0，λ＝2故SE＝2EB
2解由1知DE＝23，23，23，取DE中点F，则
F13，13，13，FA＝23，－13，－13，故FADE＝0，由此得FA⊥DE
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轴．建立如S002．
＝0，
B→C
f鼎盛大华（经典资料）
又EC＝－23，43，－23，故ECEC＝0，由此得EC⊥DE，向量F→A与E→C的夹角等于二面角A－DE－C
的平面角．
于是cos〈F→A，E→C〉＝
FAFA
ECEr