1011空间几何体的表面积与体积【知识网络】1、球的表面积和体积；2、圆柱、圆锥、圆台的体积及侧面积；3、棱柱、棱锥、棱台的表面积及体积；4、利用几何体的展开图求几何体的表面积。【典型例题】例1：（1）直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上如图，APC1Q，则四棱锥BAPQC的体积为（）
V2VC．4
A．
V3VD．5
B．
答案：B；解析：取P、Q分别为AA1、CC1的中点，设矩形AA1C1C的面积为S，点B到底面AA1C1C的距离为h，则
1S111111VBAPQChShAChAA1AA1SABCV32323233
。
（2）半径为R的半球，一个正方体的四个顶点在半球的底面上，四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积为（）A、2πR2B、4R2
23
C、2R2
D、4πR2
答案：B。解析：a21a2R2a22R26a24R2。（3）平行六面体的棱长都是a，从一个顶点出发的三条棱两两都
f成60°角，则该平行六面体的体积为A．a3B．a3
12
C．

23a2
D．
33a2
答案：C。解析：Vaasi
60
223aa。32
（4）已知直平行六面体ABCDA1B1C1D1的各条棱长均为3，BAD60，长为2的线段MN的一个端点
M
在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则
MN的中点P的轨迹（曲面）与共一顶点D的三个面
所围成的几何体的体积为为__答案：之一球，∴V142。
639
____。
2。解析：P点的轨迹是以D为球心、半径为1的六分9
（5）已知球的内接正方体的表面积为S，那么球的体积为答案：。
32S2。解析：6a2SS24
3341S22VS2。382224
SS2R366
，即R1
2
S2
，
例2：过半径为R的球面上一点P引三条长度相等的弦PA、PB、PC，它们间两两夹角相等。（1）若∠APB2α，求弦长关于α的函数表达式；（2）求三棱锥PABC体积的最大值。答案：解：（1）由题知PABC为正三棱锥，作其高PO′，
f则O′为正△ABC的中心球心O在PO′上，设PO′hPAa
APB2AB2asi
BOPOBO323ABasi
3323在RtPBO中BO2PO2PB2即asi
2h2a213又过PO与PB的平面截球的截面为球的大圆延长PO交球面于Q则PBBQPB2POPQ即a2h2R2将2代入1得2a2a4si
2a234R2
4a24R21si
2323aR34si
2即为PAPBPC的函数表达式3
333213b2b，2VPr