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高考专题：向量法求空间的距离
基础知识梳理1点到平面的距离如图1：平面α的法向量为
，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意
一点，则点
P
到平面α
的距离
d
就是MP在向量


方向射影的绝对值，即
d


MP


P

M
图1
2异面直线的距离如图2：设向量
与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线
a、b
间的距离
d
就是
MP
在向量


方向射影的绝对值，即
d




MP


a
M
b


P图2
3线到平面的距离如图3：平面α∥直线l，平面α的法向量为
，点M∈α、P∈l，平面α与
直线
l
间的距离
d
就是
MP
在向量


方向射影的绝对值，即
d




MP



lP

M
图3
4平面到平面的距离如图4：平面α∥β，平面α的法向量为
，点M∈α、P∈β，平面α与
平面β
的距离
d
就是MP在向量


方向射影的绝对值，即
d




MP



lP

M
图4
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典型例题剖析
例1：如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线AA1与BD1的距离。
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
变式：如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求面对角线B1C与体对角线BD1的距
离。
D1
C1
A1
B1
DA
CB
例2：在棱长为２的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是棱A1D1A1B1的中点．求B1到面
EFBD的距离
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变式：在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1⊥BC1，AB＝CC1＝a，BC＝b
1设E，F分别为AB1，BC1的中点，求证：EF∥平面ABC；2求证：A1C1⊥AB；3求B1到平面ABC1的距离．
例3：三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，四边形
AABB是矩形，平面AABB平面ABCD。若AA＝１，求直线AB到面DAC的距离．
强化训练1四边形MNPQ是边长为a的菱形，∠NMQ＝60°，将此菱形沿对角线NQ折成60°的二面角，
则此时MP与NQ间的距离为
3A2
3
6
3
B4a
C4aD4a
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2如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD与平面GB1D1的距离．
3如图已知△ABC中，AC＝BC＝1，AB＝2，S是△ABC所在平面外的点，SA＝SB＝2，SC＝5，点P是SC的中点，求：1二面角SACB的大小；2点P到平面ABC的距离．
4正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为8，对角线B1C10，D是AC的中点。（1）求点B1到直线AC的距离（2）求直线AB1到平面C1BD的距离．
A1
C1
B1
D
A
C
B
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