2011年全国高中数学联合竞赛（B卷）一试一、填空题（每小题8分，共64分）
1．设等差数列a
的前
项和为S
，若S2010S11，则S2011．
2．已知复数z的模为1，若zz1和zz2时z1i分别取得最大值和最小值，则
z1z2
3．若正实数ab满足

1122，ab24ab3，则logabab

4．把扑克牌中A2JQK的分别看作数字12111213现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____．
t
5．若ABC的角AC满足5cosAcosC4cosAcosC10，则a
Aat
2
C2

6．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，MN分别是BB1MB1N2，1B1C1上的点，B
SP分别是线段ADMN的中点，则异面直线SP与AC1的距离为
7．在ABC中，EF分别是ACAB的中点，AB8．抛物线y2px
2
．
2BEAC若t恒成立，则t的最小值是__．3CF
pp0上动点A到点B30的距离的最小值记为dp，满足dp22
．
的所有实数p的和为
二、解答题（共三小题，56分）
2229．（本题满分16分）已知实数xyz满足：xyz，xyz1，xyz3求实数x
的取值范围
1
f10．（本题满分20分）已知数列a
满足：
a12t2tR且t1a
1
（1）求数列a
的通项公式；
（2t
11）a
Na
2t
2
（2）若t0，试比较a
1与a
的大小
211．（本题满分20分）已知A1x1y1A2x2y2A3x3y3是抛物线y2pxp0上不同的三2点，A123，1A2A3有两边所在的直线与抛物线x2qyq0相切，证明：对不同的ij
yiyjyiyj为定值
2
f二试
x3y3z33xyz2011x15一、（本题满分40分）求所有三元整数组xyz，使其满足y15
二、（本题满分40分）如图，过O外一点A作O的两条切线，切点分别为BC点D在线段BC
CD的延长线上，
1BCP为AD的中点，过点P作O的两条切线，切点分别为QR，QR2
与BC交于点E点M在线段CB的延长线上，BMBCN为AM的中点，过点N作O的两条切线，切点分别为JK，JK与BC交于点L证明：（1）ARQD四点共圆；（2）
MCBECLCE
3
f三、（本题满分50分）设实数abc1，且满足
abc2a22b22c2cacb4a4bc28，求abc的最大值
四、（r