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】(网络下载)根据奇偶性,如果蜘蛛和爬虫都不停移动,则蜘蛛有可能永远抓不住爬虫。那么,两只蜘蛛一开始的时候应该选择不懂。根据对称性,不妨设爬虫第一步移动到了F。⑴如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到E或B,则蜘蛛也朝着该棱移动就行了。⑵如果蜘蛛预知爬虫下一步移动到G,则一只移动到E,一只移动到B。无论爬虫下一步移动到F,H,C中的哪个,总有一只蜘蛛可以移动到相应的顶点,爬虫就自投罗网了。【点评】要考虑小爬虫如果不是爬到顶点F或H,又该怎么办?14【解二】不妨分别称两只蜘蛛为甲、乙。为叙述方便,设GC和AE的中点分别为M和N;设正方体的中心为点O
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真题尝试感悟心得
小爬虫只要爬动,蜘蛛都能预知。无妨假设小品从最初是沿GC棱爬行。蜘蛛甲同时出动,沿AE棱向E运动。蜘蛛乙任意选择AB、AD之一向棱的另一顶点运动并到达该顶点。若小爬虫爬到点M,那么蜘蛛甲及运动到点N。此后甲总是以保持与小爬虫处于关于镜面对称的位置为原则做运动。这样,小爬虫只要到达E、F、H、D四点中的任意一点,都会被甲俘获;若小爬虫未爬到点M,就又反向折回,则甲以保持与小爬虫处于关于点O中心对称的位置为原则做运动。这样,甲就可以把小爬虫牢牢控制在平面BFHD的另一侧与自己分居平面两侧。而乙则可以沿着棱BC向点C运动,在沿着棱向点G运动。这样乙既可能与小爬虫迎面相遇而捕获小爬虫,也有可能将小爬虫逼到GF或GH的某一条上去。那么小爬虫不是在顶点F或H被甲迎面捕获,就是被乙迎面捕获。若小爬虫出发后爬到了顶点C。那么,它可能会与乙迎面相遇而被捕获;也可能躲避乙,二沿着棱CG或CD爬行。这时以继续向顶点C运动,并到达C。如果这时小爬虫处于棱CD上,乙就沿着此棱向顶点D运动。小爬虫显然已注定倍捕获;如果小爬虫在乙向顶点C运动时,又向G返回,乙就在到达C后沿着棱CG向G运动。这样小爬虫只能在棱GF或GH上。当乙到达顶点G时,以后的结局自然也就明朗了。【点评】以上策略可以简单归结为,甲先做占据与小爬虫关于点O中心对称的位置并伺机转变为始终保持与小爬虫处于关于某一个平面对称的位置,这个平面在小爬虫爬行一开始就确定下来了,它是由正方体的一组相对的棱确定的;乙则首先到达上述平面并沿着改平面另一侧的棱驱赶小爬虫,直至把小爬虫逼到无处可逃。
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