全国名校高考数学优质学案专题汇编（附详解）
一、基础知识：
形如ADxAByAC条件的应用
1、平面向量基本定理：若平面上两个向量e1e2不共线，则对平面上的任一向量a，
均存在唯一确定的12，（其中12R），使得a1e12e2。其中e1e2称
为平面向量的一组基底。（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量
（2）唯一性：若
a

1e1

2
e2
且
a

1
e1

2
e2
，则
12

12
2、“爪”字型图及性质：
A
（1）已知ABAC为不共线的两个向量，则对于向量AD，必
存在xy，使得ADxAByAC。则BCD三点共线
B
D
C
xy1
当0xy1，则D与A位于BC同侧，且D位于A与BC之间
当xy1，则D与A位于BC两侧
xy1时，当x0y0，则D在线段BC上；当xy0，则D在线段BC延长线上（2）已知D在线段BC上，且BDCDm
，则AD
ABmAC
m
m
3、ADxAByAC中xy确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定xy
（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程ADxAByAC，可考
虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于xy的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于xy的方程，再进行求解
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二、典型例题：
例1：在ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分
别交ABAC于点MN，若AMxABANyAC，则x4y的最小值是（
）
A94
B2
C3
思路：若要求出x4y的最值，则需从条件中得到xy的
D1
关系。由MHN共线可想到“爪”字型图，所以
AHmAM
AN，其中m
1，下面考虑将m
的关
系转为xy的关系。利用条件中的向量关系：AH1AD2
且AD1ABAC，所以AH1ABAC，因为AMxABANyAC，所以
2
4
AH

mx
AB


y
AC
，由平面向量基本定理可得：
mx
y
1414

m

14x


1
4y
，所以
m




1
14x

14y

1，所以
x

4y


x

4y

14x

14y


14
1
4

4yx

xy

，而
4yx24yx4，所以x4y9
xy
xy
4
答案：A
例2：如图，在ABC中，AN1NC，P是BN上的一点，若APr