函数的值域，形如
y

a1x2a2x2
b1xc1b2xc2
（
a1
、a2
不同时为零）的函
数的值域，常用此方法求解。
例
8：求函数
y

x2x2
x3x1
的值域。
解：由
y

x2x2

x3变形得yx1
1x2
y
1x

y
3

0
，
当y1时，此方程无解；
当y1时，∵xR，∴y124y1y30，
解得1y11，又y1，∴1y11
3
3
∴函数
y

x2x2
x3的值域为yx1
1
y

113
七、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。
例9：求函数yx12x的值域。
解：∵当x增大时，12x随x的增大而减少，12x随x的增大而增大，
∴函数yx12x在定义域1上是增函数。2
∴y11211，
2
22
∴函数yx12x的值域为1。2
八、利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。
例
10：求函数
y

x2x2
1的值域。1
解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得
y1x2y1，
∵y1，∴x2y1（xR，y1），y1
∴y10，∴1y1，y1
f∴函数
y

x2x2
11
的值域为y

1
y
1
九、图像法（数形结合法）：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。
例11：求函数yx3x5的值域。
y
2x2x3
解：∵yx3x58
3x5，
2x2x5
∴yx3x5的图像如图所示，
8
3o5
x
由图像知：函数yx3x5的值域为8
十、基本不等式法
十一、导数法
十三、最值法：对于闭区间上的连续函数，利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。
例12：求函数y2x，x22的值域。
十四、构造法：根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

14

4
例18：求函数yx24x5x24x8的值域。
点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。
解：原函数变形为fxx221x2222
作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位
正方形。设HKx则EK2xKF2xAKx2222
KCx221。
由三角形三边关系知，AKKC≥AC5。当A、K、C三点共线时取等号。
∴原函r