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第十五讲相似三角形一两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形．对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形．相似比为1的两个相似三角形是全等三角形．因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处．因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法．当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用．关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述．本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用．例1如图264所示，已知AB∥EF∥CD，若AB6厘米，CD9厘米．求EF．
分析由于BC是△ABC与△DBC的公共边，且AB∥EF∥CD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF．解在△ABC中，因为EF∥AB，所以
同样，在△DBC中有
①＋②得
设EFx厘米，又已知AB6厘米，CD9厘米，代入③得
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说明由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题
请同学自己证明．例2如图265所示．ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F．若ABa，BCb，BFc，求BE．
分析本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来，为此，O作OG∥BC，AB于G，过交构造出△FEB∽△FOG，进而求解．解过O作OG∥BC，交AB于G．显然，OG是△ABC的中位线，所以
在△FOG中，由于GO∥EB，所以
例3如图266所示．在△ABC中，∠BAC120°，AD平分
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分析因为AD平分∠BAC120°，所以∠BAD∠EAD60°．若引DE∥AB，交AC于E，则△ADE为正三角形，从而AEDEAD，利用△CED∽△CAB，可实现求证的目标．证过D引DE∥AB，交AC于E．因为AD是∠BAC的平分线，∠BAC120°，所以∠BAD∠CAD60°．又∠BAD∠EDA60°，所以△ADE是正三角形，所以EAEDAD．①由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以
由①，②得
从而
例4如图267所示．ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G．求证：
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分析与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分r