51指出下列函数的奇点及其类型,若是极点,指出它的级:
(1)
z3
1z2
z
1
;(2)
z3
1z21
2
z
;(3)e1z
;(4)
zz
2
1
;(5)
l
z1
z
;
(6)
si
z3
z
;(7)
z2
1ez1
;(8)
ez
si
z2
z
。
解:(1)
z3
1z2
z
1
z
1
12
z
1
,奇点:1(二级极点),1(一级极点);
(2)奇点:0(三级极点),i(二级极点);
z
(3)e1z
1
e1e1z
1
e
0
1
z1
,z1为本性奇点;
2k1i
(4)令z
10,得:zke
k012,
2k1i
因为z
1zzk0,所以e
是一级极点;
(5)liml
z11,z0是可去奇点;
z0
z
(6)limz0
si
zz3
,且
z
0是si
z
的一级极点,是
z3的三级极点,所以
z
0是
si
zz3
的二级极点;
(7)z0是z2ez1的三级零点,所以是
1
的三级极点,
z2ez1
z2kik12均为一级极点;
(8)
ez
si
z2
z
1z2
1
z
z2!2
z
z33
z55
z0是一级极点。
54求下列函数在各有限奇点处的留数:
(1)
1
e2z4
z
;;(3)
11z2
3
;(5)z2si
1;z
解:(1)
1
e2z4
z
1z4
2z
4z22
8z33
Re
s
f
z0
c1
43
;
(3)zi是三级极点,
f
Res
11z2
3
i
1lim2zi
z
i3
11z2
3
3i16
,
Res
11z2
3
i
12
lim
zi
z
i3
11z2
3
3i16
;
(5)
z2
si
1z
z2
0
1
2
1z2
1
,
Re
s
z
2
si
1z
0
c1
16
;
56计算下列函数在z的留数:
1
(1)ez2
;(2)cos
z
si
z
;(3)
2z3z2
;(4)
ezz21
1
解:(1)ez2
1
1z2
21!
1z4
1
z2
0z
1
展开式中不含正幂项,所以z是ez2的可去奇点,且c10,
所以
Re
s
e
1z2
0
;
(2)coszsi
z1zz2z3z4234
z
z是coszsi
z的本性奇点,Rescoszsi
z0;
(3)
3
2zz
2
21
z
1
3z2
21
z
0
3
z2
2z
1
3z2
9z4
3z
z
是
2z3z2
的可去奇点,
Re
s
2z3z2
2
;
(4)
ezz21
1z2
ez
1
1z2
1z2
1
z
z22
z33
1
1z2
1z4
1z
f展开式中含无穷多正幂项,所以
z
是
ezz21
的本性奇点,
11
c1135
1i
0
1
i2
1
2
1
si
i
i
,
所以
Re
s
z
ez21
c1
si
ii
isi
i
。
57证明:若z0是的
f
z的m级零点,则z0是gz
fz的一级极点。fz
证明:z0是fz的mm1级零点,可设fzzz0mz,其中z在z0点解析,且z00,
fzmzz0m1zzz0mz,
gz
fzfz
mzz0m1zzz0mzzz0mz
mzzz0zzz0z
函数mzzr