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51指出下列函数的奇点及其类型,若是极点,指出它的级:
(1)
z3

1z2
z

1
;(2)
z3
1z21
2
z
;(3)e1z
;(4)
zz

2

1
;(5)
l
z1
z

(6)
si
z3
z
;(7)
z2
1ez1
;(8)
ez
si
z2
z

解:(1)
z3

1z2
z
1


z
1
12
z
1
,奇点:1(二级极点),1(一级极点);
(2)奇点:0(三级极点),i(二级极点);
z
(3)e1z
1
e1e1z
1

e
0
1
z1
,z1为本性奇点;
2k1i
(4)令z
10,得:zke
k012,
2k1i
因为z
1zzk0,所以e
是一级极点;
(5)liml
z11,z0是可去奇点;
z0
z
(6)limz0
si
zz3

,且
z

0是si

z
的一级极点,是
z3的三级极点,所以
z

0是
si
zz3
的二级极点;
(7)z0是z2ez1的三级零点,所以是
1
的三级极点,
z2ez1
z2kik12均为一级极点;
(8)
ez
si
z2
z

1z2
1
z

z2!2

z

z33

z55


z0是一级极点。
54求下列函数在各有限奇点处的留数:
(1)
1
e2z4
z
;;(3)
11z2
3
;(5)z2si
1;z
解:(1)
1
e2z4
z

1z4

2z


4z22
8z33


Re
s

f
z0

c1


43

(3)zi是三级极点,
f
Res
11z2
3
i


1lim2zi

z


i3


11z2
3


3i16



Res
11z2
3

i


12
lim
zi


z

i3


11z2
3


3i16


(5)
z2
si

1z

z2

0
1
2
1z2
1

Re
s

z
2
si

1z

0

c1


16

56计算下列函数在z的留数:
1
(1)ez2
;(2)cos
z
si

z
;(3)
2z3z2
;(4)
ezz21
1
解:(1)ez2
1
1z2

21!
1z4


1
z2


0z
1
展开式中不含正幂项,所以z是ez2的可去奇点,且c10,
所以
Re
s
e
1z2



0


(2)coszsi
z1zz2z3z4234
z
z是coszsi
z的本性奇点,Rescoszsi
z0;
(3)
3
2zz
2

21
z
1
3z2

21
z
0
3
z2


2z
1
3z2

9z4


3z
z



2z3z2
的可去奇点,
Re
s
2z3z2


2

(4)
ezz21

1z2
ez
1
1z2

1z2
1
z

z22
z33

1
1z2

1z4


1z
f展开式中含无穷多正幂项,所以
z



ezz21
的本性奇点,
11
c1135

1i

0
1

i2
1
2
1

si
i
i

所以
Re
s

z
ez21




c1

si
ii

isi

i

57证明:若z0是的
f
z的m级零点,则z0是gz
fz的一级极点。fz
证明:z0是fz的mm1级零点,可设fzzz0mz,其中z在z0点解析,且z00,
fzmzz0m1zzz0mz,
gz
fzfz

mzz0m1zzz0mzzz0mz
mzzz0zzz0z
函数mzzr
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