双曲线焦点三角形的几个性质
文1给出了椭圆焦点三角形的一些性质，受此启发，经过研究，本文总结出双曲线焦点三角形如下的一些性质：
设若双曲线方程为
x2a2
y2b2
1，F1F2分别为它的左右焦点，P为双曲线上任意一点，则有：
性质1、若F1PF2
则S
F1PF2
b2cot2
；特别地，当F1PF2
90
时，有S
F1PF2
b2。
2PF1PF2cosPF12PF22F1F22
2PF1PF2cosPF1PF222PF1PF2F1F22
2PF1PF2cos2a22PF1PF22c2

2PF1PF2cos14a2c2
PF1
PF2

b22
1cos


b2si
2

2
1SF1PF22PF1PF2si


b22si
2

2si

2
cos
2

b2
cot
2
2
易得90时，有SF1PF2b2
性质2、双曲线焦点三角形的内切圆与F1F2相切于实轴顶点；且当P点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P点在双曲线右支时，切点为右顶点。
f证明：设双曲线x2a2

y2b2
1的焦点三角形的内切圆且三边
F1F2，PF1，PF2于点
ABC，双
曲线的两个顶点为A1A2
PF1PF2CF1BF2AF1AF2
PF1PF22a，AF1AF22a
A在双曲线上，又A在F1F2上，A是双曲线与x轴的交点即点A1A2
性质3、双曲线离心率为e，其焦点三角形PF1F2的旁心为A，线段PA的延长线交F1F2的延
长线于点B，则BAeAP
证明：由角平分线性质得
BAF1BF2BF1BF2B2ceAPF1PF2PF1PF2P2a
f性质4、双曲线的焦点三角形PF1F2中，PF1F2PF2F1
当点P在双曲线右支上时，有ta
cote122e1
当点P在双曲线左支上时，有cotta
e122e1
证明：由正弦定理知F2PF1PF1F2si
si
si

由等比定理，上式转化为F2PF1PF1F2si
si
si

2a2csi
si
si


ca

si
si
si


2si
cos
2
2
2cossi


si
si

2

si
si

cos22cos
cossi
22
cossi

2
2
2
2222
分子分母同除以cossi
，得22
e

ta
ta

2
cotcot

2

11

ta

2
cot
2

ee
11
22
参考文献：
1熊光汉椭圆焦点三角形的若干性质数学通报20045
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