内找一点N，使NE面PAC，并求出点N到AB和AP的距离解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则ABCDPE的坐标为A000、
B300、C
310、D010、
P002、E0
12
1，
从而AC310PB302设AC与PB的夹角为，则
cosACPBACPB237
314

314
7

∴AC与PB所成角的余弦值为
7

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为x0z，则
NEx121z，由NE面PAC可得，
4
fNEAP0NEAC0
x即x
1212
1z0020化简得1z3100
z10103x2
3x∴6z1
即N点的坐标为
36
01，从而N点到AB和AP的距离分别为1
36

4．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中
AB4BC2CC13BE1
（Ⅰ）求BF的长；（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D000，B240
A200C040E241C1043设F00z
∵AEC1F为平行四边形，
由AEC1F为平行四边形
由AFEC1得20z202z2F002EF242于是BF26即BF的长为26
（II）设
1为平面AEC1F的法向量，
显然
1不垂直于平面ADF故可设
1xy1

AE00x4y101由得
1AF02x0y20
x14y10即12x20y4
5
f又CC
1
003设CC1与
1的夹角为，则
CCCC
1
cos
1

1
3
311161

4
3333


1
∴C到平面AEC1F的距离为
4333343311
dCC
1
cos3


5．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，ADAA11AB2，点E在棱AD上移动（1）证明：D1EA1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为
4

解：以D为坐标原点，直线DADCDD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，设
AEx，则A1101D1001E1x0A100C020
（1）因为DA1D1E1011x10所以DA1r